Question

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，P是AD上異于A、D的任意一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)BP、CP分別交AC于E，交AB于F．已知AE=AF，求證：BP=CP．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：利用全等三角形的判定定理SAS推知△AFP≌△AEP，則其對(duì)應(yīng)角相等：∠APF=∠APE；然后由對(duì)頂角的性質(zhì)和圖中相關(guān)角間的和差關(guān)系推知∠APB=∠APC，則根據(jù)“ASA”判定△APB≌△APC，則BP=CP．

解答：證明：如圖，∵在△ABC中，AD平分∠BAC，
∴∠FAP=∠EAP．
在△AFP與△AEP中，

AF=AE ∠FAP=∠EAP AP=AP

，
∴△AFP≌△AEP（SAS），
∴∠APF=∠APE．
又∠FPB=∠EPC，
∴∠APB=∠APC，
在△APB與△APC中，

∠BAP=∠CAP AP=AP ∠APB=∠APC

，
∴△APB≌△APC（ASA），
∴BP=CP．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．