Question

 (1)動手操作：

如圖①，將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在點處，折痕為EF，若∠ABE=20°，那么的度數(shù)為        。

（2）觀察發(fā)現(xiàn)：

小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖②）；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖③）．小明認為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由．

（3）實踐與運用：

將矩形紙片ABCD 按如下步驟操作：將紙片對折得折痕EF，折痕與AD邊交于點E，與BC邊交于點F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點A、點D都與點F重合，展開紙片，此時恰好有MP=MN=PQ（如圖④）,求∠MNF的大小。

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）同意，通過證明AE=AF，即△AEF為等腰三角形．（3）∠MNF=60°

【解析】

試題分析：（1）如圖①，將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在點處，折痕為EF，若∠ABE=20°，根據(jù)折疊的特征，，，所以，所以；，在三角形EFB中，，的度數(shù)===

（2）同意．                                  

如圖，設(shè)AD與EF交于點G．

由折疊知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．

由折疊知，∠AGE=∠ DGE=90°，

所以∠AGE=∠AGF=90°，    

所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，

即△AEF為等腰三角形．      

（3）過N作NH⊥AD于H

設(shè)

由折疊知， ① 

 

    ……8分

∴△MPF為等邊三角形

∴∠MFE=30°，∴∠MFN=60°，

又∵MN=MF=  

∴△MNF為等邊三角形   

∴∠MNF=60°， 

考點：折疊，等腰三角形，等邊三角形，勾股定理

點評：本題考查折疊，等腰三角形，等邊三角形，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握折疊的特征，熟悉等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，會判定三角形為等邊，掌握勾股定理