Question

已知：∠MAN=60°，點(diǎn)B在射線AM上，AB=4（如圖）．P為直線AN上一動點(diǎn)，以BP為邊作等邊三角形BPQ（點(diǎn)B，P，Q按順時針排列），O是△BPQ的外心．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動時，求證：點(diǎn)O在∠MAN的平分線上；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合）時，AO與BP交于點(diǎn)C，設(shè)AP=x，AC•AO=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）若點(diǎn)D在射線AN上，AD=2，圓I為△ABD的內(nèi)切圓．當(dāng)△BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時，請直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離．

Answer 1

（1）證明：如圖1，連接OB，OP．
∵O是等邊三角形BPQ的外心，
∴圓心角∠BOP=

360°

3

=120°．
當(dāng)∠MAN=60°，不垂直于AM時，作OT⊥AN，則OB=OP．
由∠HOT+∠A+∠AHO+∠ATO=360°，且∠A=60°，∠AHO=∠ATO=90°，
∴∠HOT=120度．
∴∠BOH=∠POT．
∴Rt△BOH≌Rt△POT．
∴OH=OT．
∴點(diǎn)O在∠MAN的平分線上．
當(dāng)OB⊥AM時，∠APO=360°-∠A-∠BOP-∠OBA=90°．
即OP⊥AN，
∴點(diǎn)O在圓I的平分線上．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動時，點(diǎn)O在∠MAN的平分線上．

（2）如圖2，
∵AO平分∠MAN，且∠MAN=60°，
∴∠BAO=∠PAO=30°．
由（1）知，OB=OP，∠BOP=120°，
∴∠CBO=30°，
∴∠CBO=∠PAC．
∵∠BCO=∠PCA，
∴∠AOB=∠APC．
∴△ABO∽△ACP．
∴

AB

AC

=

AO

AP

．
∴AC•AO=AB•AP．
∴y=4x．
定義域?yàn)椋簒＞0．

（3）①如圖3，當(dāng)BP與圓I相切時，AO=2

3

；
②如圖4，當(dāng)BP與圓I相切時，AO=

4

3

3

；
③如圖5，當(dāng)BQ與圓I相切時，AO=0．