Question

如圖，在△ABC中，∠CAB、∠ABC的平分線交于點(diǎn)D，DE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交AC于點(diǎn)F．求證：四邊形DECF為菱形．

Answer 1

略

證法一：連結(jié)CD

∵ DE∥AC，DF∥BC，
∴ 四邊形DECF為平行四邊形，
∵∠CAB、∠ABC的平分線交于點(diǎn)D
∴點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，
∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，
∵DF∥BC
∴∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC
∴ FC＝FD，
∴ 平行四邊形DECF為菱形．  6分
證法二：過D分別作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．

∵AD、BD分別平分∠CAB、∠ABC，
∴DI=DG，DG=DH．∴DH=DI．
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四邊形DECF為平行四邊形，
∴S□DECF=CE·DH =CF·DI，
∴CE=CF．
∴平行四邊形DECF為菱形．……………6分