【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點(diǎn)M為拋物線y=﹣x2+bx+c上異于點(diǎn)C的一個(gè)點(diǎn),且S△OMC=S△ABC,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P為x軸上方拋物線上任意一點(diǎn),點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn),直線AP、BP分別交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E、F.請(qǐng)問DE+DF是否為定值?如果是,請(qǐng)求出這個(gè)定值;如果不是,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)(2,﹣5)或(﹣2,3);(3)是定值,8
【解析】
(1)將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式,即可求解;
(2)S△ABC=××AB×OC=×4×3=3,而S△OMC=×OC×||=||=3,即可求解;
(3)求出直線AP、BP的函數(shù)表達(dá)式,即可求解.
解:(1)將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得,解得,
故拋物線的表達(dá)式為:y=﹣x2﹣2x+3;
(2)對(duì)于拋物線y=﹣x2﹣2x+3,令y=0,則x=﹣3或1,
故點(diǎn)B(1,0),
∴S△ABC=××AB×OC=×4×3=3,
∵S△OMC=×OC×||=||=3,解得:=±2,
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,﹣5)或(﹣2,3);
(3)是定值,理由:
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,﹣m2﹣2m+3),
設(shè)直線AP的表達(dá)式為:y=kx+t,則,解得,
故直線AP的表達(dá)式為:y=﹣(m﹣1)(x+3),
當(dāng)x==﹣1時(shí),y=2﹣2m,即點(diǎn)E(﹣1,2﹣2m),即DE=2﹣2m,
同理可得,直線BP的表達(dá)式為:y=﹣(m+3)(x﹣1),
當(dāng)x=﹣1時(shí),y=2m+6,故點(diǎn)F(﹣1,2m+6),即DF=2m+6,
∴DE+DF=2﹣2m+2m+6=8,為定值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,P為AB上的一動(dòng)點(diǎn),E為AD中點(diǎn),PE交CD延長(zhǎng)線于Q,過E作EF⊥PQ交BC的延長(zhǎng)線于F,則下列結(jié)論:①△APE≌△DQE;②PQ=EF;③當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí),CF=;④若H為QC的中點(diǎn),當(dāng)P從A移動(dòng)到B時(shí),線段EH掃過的面積為1,其中正確的有( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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【題目】用A、B兩種機(jī)器人搬運(yùn)大米,A型機(jī)器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)20袋大米,A型機(jī)器人搬運(yùn)700袋大米與B型機(jī)器人搬運(yùn)500袋大米所用時(shí)間相等.求A、B型機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少袋大米.
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【題目】如圖,已知點(diǎn)E,H在矩形ABCD的AD邊上,點(diǎn)F,G在BC邊上,將矩形ABCD沿EF,GH折疊,使點(diǎn)B和點(diǎn)C落在AD邊上同一點(diǎn)P處.折疊后,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A',點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D',若∠FPG=90°,A'E=3,D'H=1,則矩形ABCD的周長(zhǎng)等于_____.
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【題目】規(guī)定:在平面內(nèi),如果一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度α(0°<α≤180°)后能與自身重合,那么就稱這個(gè)圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形,轉(zhuǎn)動(dòng)的這個(gè)角度α稱為這個(gè)圖形的一個(gè)旋轉(zhuǎn)角.例如:正方形繞著兩條對(duì)角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°或180°后,能與自身重合(如圖1),所以正方形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形,且有兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角.根據(jù)以上規(guī)定,回答問題:
(1)下列圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形,但不是中心對(duì)稱圖形的是________;
A.矩形 B.正五邊形 C.菱形 D.正六邊形
(2)下列圖形中,是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形,且有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角是60度的有:________(填序號(hào));
(3)下列三個(gè)命題:①中心對(duì)稱圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形;②等腰三角形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形;③圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形,其中真命題的個(gè)數(shù)有( )個(gè);
A.0 B.1 C.2 D.3
(4)如圖2的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形由等腰直角三角形和圓構(gòu)成,旋轉(zhuǎn)角有45°,90°,135°,180°,將圖形補(bǔ)充完整.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,AD=2,E是邊CD上一點(diǎn),將△ADE沿直線AE折疊得到△AFE,BF的延長(zhǎng)線交邊CD于點(diǎn)G,則DG的最大值為_____.
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【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)P,過P點(diǎn)作軸于點(diǎn)M,軸于點(diǎn)N,連接,則稱的長(zhǎng)度為點(diǎn)P的垂點(diǎn)距離,記為h.特別地,點(diǎn)P與原點(diǎn)重合時(shí),垂點(diǎn)距離為0.
(1)點(diǎn)的垂點(diǎn)距離分別為________,___________,____________;
(2)點(diǎn)P在以為圓心,半徑為3的上運(yùn)動(dòng),求出點(diǎn)P的垂點(diǎn)距離h的取值范圍;
(3)點(diǎn)T為直線位于第二象限內(nèi)的一點(diǎn),對(duì)于點(diǎn)T的垂點(diǎn)距離h的每個(gè)值有且僅有一個(gè)點(diǎn)T與之對(duì)應(yīng),求點(diǎn)T的橫坐標(biāo)t的取值范圍.
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【題目】某社會(huì)團(tuán)體準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種防護(hù)服捐給一線抗疫人員,經(jīng)了解,購(gòu)進(jìn)5件甲種防護(hù)服和4件乙種防護(hù)服需要2萬元,購(gòu)進(jìn)10件甲種防護(hù)服和3件乙種防護(hù)服需要3萬元.
(1)甲種防護(hù)服和乙種防護(hù)服每件各多少元?
(2)實(shí)際購(gòu)買時(shí),發(fā)現(xiàn)廠家有兩種優(yōu)惠方案,方案一:購(gòu)買甲種防護(hù)服超過20件時(shí),超過的部分按原價(jià)的8折付款,乙種防護(hù)服沒有優(yōu)惠;方案二:兩種防護(hù)服都按原價(jià)的9折付款,該社會(huì)團(tuán)體決定購(gòu)買件甲種防護(hù)服和30件乙種防護(hù)服.
①求兩種方案的費(fèi)用與件數(shù)的函數(shù)解析式;
②請(qǐng)你幫該社會(huì)團(tuán)體決定選擇哪種方案更合算.
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