Question

如圖所示，A、B兩塊試驗田相距200米，C為水源地，AC=160m，BC=120m，為了方便灌溉，現有兩種方案修筑水渠．

甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；

乙方案；過點C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進行修筑．

（1）請判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；

（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明．

Answer 1

【考點】勾股定理的應用．

【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；

（2）由△ABC的面積求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出結果．

【解答】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：

∴AC²+BC²=160²+120²=40000，AB²=200²=40000，

∴AC²+BC²=AB²，

∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；

（2）甲方案所修的水渠較短；理由如下：

∵△ABC是直角三角形，

∴△ABC的面積=AB•CH=AC•BC，

∴CH===96（m），

∵CH⊥AB，

∴∠AHC=90°，

∴AH===128（m），

∴BH=AB﹣AH=72m，

∵AC+BC=160m+120m=280m，CH+AH+BH=96m+200m=296m，

∴AC+BC＜CH+AH+BH，

∴甲方案所修的水渠較短．

【點評】本題考查了勾股定理的應用、勾股定理的逆定理、三角形面積的計算；熟練掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形是解決問題的關鍵．