Question

已知開口向下的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)），并且M和N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是方程x²-2x-3=0的兩根，點(diǎn)K是拋物線與y軸的交點(diǎn)，∠MKN不小于90度．
（1）求點(diǎn)M和N的坐標(biāo)；
（2）求系數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)y取得最大值時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得S△MPN=2

3

？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)先求出方程x²-2x-3=0的兩根，然后根據(jù)M，N的左右位置來(lái)確定它們的坐標(biāo)．
（2）可先用交點(diǎn)式設(shè)出拋物線的解析式，由于拋物線過(guò)M，N，因此可將拋物線設(shè)為y=a（x²-2x-3），求∠MKN不小于90°時(shí)a的取值范圍，那么可先求出∠MKN=90°時(shí)，a的值．當(dāng)∠MKN=90°時(shí)，可根據(jù)射影定理求出OK的長(zhǎng)，也就求出了a的值，進(jìn)而可得出a的取值范圍．（要注意的是拋物線開口向下的條件，即a＜0）．
（3）當(dāng)y取最大值時(shí)，那么∠NKN必為90°，可根據(jù)（2）得出的∠MKN=90°時(shí)a的值，進(jìn)而可求出拋物線的解析式，然后根據(jù)三角形MKN的面積求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，再將P點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意：x²-2x-3=0，x=3，x=-1
由于N在點(diǎn)M的左側(cè)，因此M，N的坐標(biāo)分別是M（-1，0），N（3，0）

（2）拋物線與x軸交于M（-1，0），N（3，0）兩點(diǎn)，則y=a（x²-2x-3）
拋物線開口向下，則a＜0，令x=0，y=-3a＞0，K（0，-3a）．
當(dāng)∠MKN=90°時(shí)，
∵∠MKN=∠MKO+∠NKO=90°，∠KON=∠NKO+∠KNO=90°
∴∠MKO=∠KNO
∵∠MOK=∠KON=90°
∴△MOK∽△KON
∴MO：KO=KO：ON，

1

-3a

=

-3a

3

∴a²=

1

3

，a=-

3

3

由于∠MKN不小于90°，因此a的取值范圍是-

3

3

≤a＜0；

（3）當(dāng)y取最大值時(shí)，a=-

3

3

，因此拋物線的解析式為y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

；
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，h），則有：
S_△MPN=

1

2

•MN•|h|=2

3

，MN=4，因此|h|=

3

，h=±

3

．
當(dāng)h=

3

時(shí)，

3

=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

：解得x=0或x=2．
當(dāng)h=-

3

時(shí)，-

3

=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

：解得x=1+

7

或1-

7

．
因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

3

）、（2，

3

）、（1+

7

，-

3

）、（1-

7

，-

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，（2）中求出∠MKN=90°時(shí)a的取值是解題的關(guān)鍵．