Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點(diǎn)．

(1)求證：△ABM≌△DCM；

(2)當(dāng)AB∶AD＝___時(shí)，四邊形MENF是正方形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）利用矩形的性質(zhì)，利用HL證明△ABM≌△DCM.（2）利用四邊形MENF是正方形的結(jié)論反推出條件AB∶AD＝1∶2,再用條件證明，先證明∠AMB＝45°.利用△ABM≌△DCM，證明四邊形MENF是菱形，最后得菱形MENF是正方形．

試題解析：

解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°.∵M為AD的中點(diǎn)，∴AM＝MD，∴△ABM≌△DCM.

(2) 1∶2，理由：∵AB∶AD＝1∶2，∴AB＝AD.∵AM＝AD，∴AB＝AM，∴∠ABM＝∠AMB.∵∠A＝90°，∴∠AMB＝45°.∵△ABM≌△DCM，∴BM＝CM，∠DMC＝∠AMB＝45°，∴∠BMC＝90°.∵E，F，N分別是BM，CM，BC的中點(diǎn)，∴EN∥CM，FN∥BM，EM＝MF，

∴四邊形MENF是菱形．

∵∠BMC＝90°，

∴菱形MENF是正方形．