Question

【題目】在中，，過點(diǎn)作直線，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是），射線分別交直線于點(diǎn)．

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，若與重合，則的度數(shù)為_________________

（2）類比探究：如圖2，所示，設(shè)與的交點(diǎn)為M，當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；

（3）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)分別在的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究四邊形的面積是否存在最小值，若存在，直接寫出四邊形的最小面積；若不存在，請(qǐng)說明理由

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A'C=2，進(jìn)而得到BC=，依據(jù)∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB=，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；

（2）根據(jù)M為A'B'的中點(diǎn)，即可得出∠A=∠A'CM，進(jìn)而得到PB= ，依據(jù)tan∠BQC=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，進(jìn)而得出PQ=PB+BQ=；

（3）依據(jù)S四邊形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四邊形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，利用幾何法或代數(shù)法即可得到S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B′Q=3-．

解（1）由旋轉(zhuǎn)得：，

，

， ，

，

，

；

(2)因?yàn)?/span>M是中點(diǎn)，所以，

，

，

，

．

∵∠PCQ=∠PBC=90°，

∴∠BQC+∠BPC=∠BCP+∠BPC=90°，

∴∠BQC=∠BCP=∠A，

，

，

；

(3) ，

最小，即最小，

，

取PQ的中點(diǎn)G，

，即PQ=2CG，

當(dāng)最小時(shí)， 最小，

， 與重合，最小，

∵的最小值為，．