如圖,在平面直角坐標系中,A是拋物線y=
1
2
x2上的一個動點,且點A在第一象限內(nèi).AE⊥y軸于點E,點B坐標為(0,2),直線AB交x軸于點C,點D與點C關(guān)于y軸對稱,直線DE與AB相交于點F,連結(jié)BD.設(shè)線段AE的長為m,△BED的面積為S.
(1)當m=
2
時,求S的值.
(2)求S關(guān)于m(m≠2)的函數(shù)解析式.
(3)①若S=
3
時,求
AF
BF
的值;
②當m>2時,設(shè)
AF
BF
=k,猜想k與m的數(shù)量關(guān)系并證明.
考點:二次函數(shù)綜合題
專題:綜合題,壓軸題
分析:(1)首先可得點A的坐標為(m,
1
2
m2),繼而可得點E的坐標及BE、OE的長度,易得△ABE∽△CBO,利用對應(yīng)邊成比例求出CO,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出DO,繼而可求解S的值;
(2)分兩種情況討論,(I)當0<m<2時,將BE•DO轉(zhuǎn)化為AE•BO,求解;(II)當m>2時,由(I)的解法,可得S關(guān)于m的函數(shù)解析式;
(3)①首先可確定點A的坐標,根據(jù)
S△ADF
S△BDF
=
S△AEF
S△BEF
=
AF
BF
=k,可得S△ADF=k•S△BDF•S△AEF=k•S△BEF,從而可得
S△ADE
S△BDE
=
S△ADF-S△AEF
S△BDF-S△BEF
=
k(S△BDF-S△BEF)
S△BDF-S△BEF
=k,代入即可得出k的值;
②可得
S△ADE
S△BDE
=
S△ADF+S△AEF
S△BDF+S△BEF
=
k(S△BDF+S△BEF)
S△BDF+S△BEF
=k,因為點A的坐標為(m,
1
2
m2),S=m,代入可得k與m的關(guān)系.
解答:解:(1)∵點A在二次函數(shù)y=
1
2
x2的圖象上,AE⊥y軸于點E,且AE=m,
∴點A的坐標為(m,
1
2
m2),
當m=
2
時,點A的坐標為(
2
,1),
∵點B的坐標為(0,2),
∴BE=OE=1.
∵AE⊥y軸,
∴AE∥x軸,
∴△ABE∽△CBO,
AE
CO
=
BE
BO
=
1
2
,
∴CO=2
2
,
∵點D和點C關(guān)于y軸對稱,
∴DO=CO=2
2
,
∴S=
1
2
BE•DO=
1
2
×1×2
2
=
2
;

(2)(I)當0<m<2時(如圖1),
∵點D和點C關(guān)于y軸對稱,
∴△BOD≌△BOC,
∵△BEA∽△BOC,
∴△BEA∽△BOD,
BE
AE
=
BO
DO
,即BE•DO=AE•BO=2m.
∴S=
1
2
BE•DO=
1
2
×2m=m;
(II)當m>2時(如圖2),
同(I)解法得:S=
1
2
BE•DO=
1
2
AE•OB=m,
由(I)(II)得,
S關(guān)于m的函數(shù)解析式為S=m(m>0且m≠2).

(3)①如圖3,連接AD,
∵△BED的面積為
3

∴S=m=
3
,
∴點A的坐標為(
3
3
2
),
S△ADF
S△BDF
=
S△AEF
S△BEF
=
AF
BF
=k,
∴S△ADF=k•S△BDF,S△AEF=k•S△BEF
S△ADE
S△BDE
=
S△ADF-S△AEF
S△BDF-S△BEF
=
k(S△BDF-S△BEF)
S△BDF-S△BEF
=k,
∴k=
S△ADE
S△BDE
=
1
2
×
3
×
3
2
3
=
3
4
;
②k與m之間的數(shù)量關(guān)系為k=
1
4
m2,
如圖4,連接AD,
S△ADF
S△BDF
=
S△AEF
S△BEF
=
AF
BF
=k,
∴S△ADF=k•S△BDF,S△AEF=k•S△BEF
S△ADE
S△BDE
=
S△ADF+S△AEF
S△BDF+S△BEF
=
k(S△BDF+S△BEF)
S△BDF+S△BEF
=k,
∵點A的坐標為(m,
1
2
m2),S=m,
∴k=
S△ADE
S△BDE
=
1
2
m•
1
2
m2
m
=
1
4
m2(m>2).
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及了三角形的面積、比例的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是熟練數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想的運用,難度較大.
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C、不在同一直線上的三點確定一個圓
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A、
B、
C、
D、

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反比例函數(shù)y=
k
x
與一次函數(shù)y=kx+1交于點P(
1
2
,m).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)若反比例函數(shù)與直線的另一個交點是Q,反比例函數(shù)上的一點M滿足:∠PQM=60°,求M的坐標.

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1
x-1
-
1
x+1
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