Question

反比例函數(shù)y=

k

x

與一次函數(shù)y=kx+1交于點(diǎn)P（

1

2

，m）．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）若反比例函數(shù)與直線的另一個(gè)交點(diǎn)是Q，反比例函數(shù)上的一點(diǎn)M滿足：∠PQM=60°，求M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式,反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,勾股定理,解直角三角形的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,綜合題

分析：（1）由于點(diǎn)P在兩個(gè)函數(shù)的圖象上，因此點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)解析式，只需把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入兩個(gè)函數(shù)解析式，解出k和m，就可求出兩個(gè)函數(shù)解析式．
（2）由于點(diǎn)P、點(diǎn)Q確定，∠PQM=60°，因此直線QM確定，要求點(diǎn)M的坐標(biāo)，只需先求出直線QM的解析式，然后通過解方程（組）就可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．如圖2，在△ABQ中，∠AQB已知，AQ及tan∠QAB都可求，可以通過構(gòu)建直角三角形，利用銳角三角函數(shù)和勾股定理求出AB長(zhǎng)，進(jìn)而求出該直線QM與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后求出直線QM的解析式，就可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖1，
∵點(diǎn)P（

1

2

，m）在反比例函數(shù)y=

k

x

與一次函數(shù)y=kx+1的圖象上，
∴

k= 1 2 m 1 2 k+1=m

，
解得：

k= 2 3 m= 4 3

．
則反比例函數(shù)的解析式為y=

2

3x

，一次函數(shù)的解析式為y=

2

3

x+1．
（2）設(shè)直線PQ與y軸交于點(diǎn)A，直線QM與y軸交于點(diǎn)B．
過點(diǎn)Q作QC⊥y軸，垂足為C；
過點(diǎn)B作BD⊥AQ，垂足為D，如圖2所示．
聯(lián)立兩函數(shù)解析式得：

y= 2 3x y= 2 3 x+1

，
解得：

x=-2 y=- 1 3

或

x= 1 2 y= 4 3

．
∴P（

1

2

，

4

3

）、Q（-2，-

1

3

）．
∵點(diǎn)A是直線y=

2

3

x+1與y軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，1）．
在Rt△QCA中，
∵QC=2，AC=1-（-

1

3

）=

4

3

，
∴QA=

2 13

3

，tan∠QAC=

QC

AC

=

3

2

．
∵tan∠QAC=

QC

AC

=

3

2

＞1，
∴∠QAC＞45°．
∴∠AQC＜45°．
∵∠PQM=60°，
∴M只可能在第三象限．
在Rt△ADB中，
tan∠DAB=

DB

DA

=

3

2

．
在Rt△QDB中，
tan∠DQB=

DB

DQ

=tan60°=

3

．
設(shè)DA=2x，
則DB=3x，DQ=

3

x．
∵QA=QD+DA
═

3

x+2x
=

2 13

3

，
∴x=

2 13

3( 3 +2)

．
∵BD⊥AD，DA=2x，DB=3x
∴AB=

13

x=

52-26 3

3

．
∴OB=AB-OA=

49-26 3

3

．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-

49-26 3

3

）．
設(shè)直線QM的解析式為y=ax-

49-26 3

3

，
∵Q（-2，-

1

3

）在直線QM上，
∴-2a-

49-26 3

3

=-

1

3

，
∴a=

13 3 -24

3

．
∴直線QM的解析式為y=

13 3 -24

3

x-

49-26 3

3

．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），
∵點(diǎn)M是反比例函數(shù)y=

2

3x

圖象與直線QB的一個(gè)交點(diǎn)，
∴y=

13 3 -24

3

x-

49-26 3

3

=

2

3x

．
整理得：（13

3

-24）x²-（49-26

3

）x-2=0．
則（x+2）[（13

3

-24）x-1]=0．
解得：x₁=-2，x₂=-

13 3 +24

69

．
∵點(diǎn)M與點(diǎn)Q不重合，
∴x≠-2．
∴x=-

13 3 +24

69

．
∴y=

2

3x

=

26 3 -48

3

．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-

13 3 +24

69

，

26 3 -48

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式，考查了通過解方程組求一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，考查了運(yùn)用銳角三角函數(shù)和勾股定理解三角形，綜合性比較強(qiáng)．通過解三角形求出AB長(zhǎng)，從而求出直線QM與y軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)是解決第二小題的關(guān)鍵．