Question

【題目】已知：如圖，是的外接圓，且，，是的切線，為切點(diǎn)，割線過圓心，交于另一點(diǎn)，連接．

求證：；

求的半徑及的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) DC=23.8．

【解析】

（1）如圖；由AB=AC，可以得到∠1=∠2，然后利用弦切角定理就可以證得PA與BC的內(nèi)錯(cuò)角相等，由此得證；

（2）本題需構(gòu)建直角三角形求解，連接OA，交BC于G，由垂徑定理知：OA垂直平分BC，

在Rt△ABG中，已知了AB、BG的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求出AG的長(zhǎng)，

在Rt△OBG中，用圓的半徑表示出OG的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理，求出圓的半徑長(zhǎng)，進(jìn)而可求出OG的長(zhǎng)，

△BCD中，易證得OG是△BCD的中位線，由此可求出CD的長(zhǎng)．

解:∵是的切線，

∴．

又∵，

∴，

∴．

∴．

連接交于點(diǎn)，則；

由可知，，

∴．

∴為的中點(diǎn)，

∵，

∴．

又∵，

∴．

設(shè)的半徑為，則，

在中，

∵，

∴，

∴，；

∵是的直徑，

∴．

又∵，

∴．

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴．