Question

拋物線y=a（x-2）²的頂點(diǎn)A在x軸上，開口向上，與y軸相交于B點(diǎn)，OA=OB．
（1）求出B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)C，使△ABC是直角三角形？若存在，求出C點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由y=a（x-2）²，得出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），根據(jù)OA=OB，得到B（0，2）；
（2）先將B（0，2）代入y=a（x-2）²，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再分三種情況討論：①若∠BAC=90°，則B、C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，由此求出即可；②若∠ABC=90°時(shí)，得出求出直線BC的解析式，和拋物線的解析式得出方程組，求出方程組的解即可；③若∠ACB=90°時(shí)，設(shè)C（n，k），根據(jù)勾股定理得出AC²+BC²=AB²，代入得到（n-2）²+k²+n²+（k-2）²=8，求出即可．

解答：解：（1）∵y=a（x-2）²，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），
∵拋物線y=a（x-2）²開口向上，與y軸相交于B點(diǎn)，OA=OB，
∴B（0，2）；

（2）將B（0，2）代入y=a（x-2）²，
得2=4a，解得a=

1

2

，
∴y=

1

2

（x-2）²，即y=

1

2

x²-2x+2．
①若∠BAC=90°，
∵△AOB是等腰直角三角形，A為拋物線頂點(diǎn)，
∴∠BAO=45°，
∴B、C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴C（4，2）；
②若∠ABC=90°時(shí)，
∵直線AB的解析式為y=-x+2，AB⊥BC，
∴可設(shè)直線BC的解析式為y=x+b，
將B（0，2）代入得：b=2，
∴y=x+2，
解方程組

y=x+2 y= 1 2 x2-2x+2

，
解得：

x1=0 y1=2

，

x2=6 y2=8

，
∴C（6，8）；
③若∠ACB=90°時(shí)，設(shè)C（n，k），
AC²+BC²=AB²，
即（n-2）²+k²+n²+（k-2）²=8，
n²-2n+k²-2k=0，
∵k=

1

2

n²-2n+2，
代入整理得

1

4

n⁴-2n³+6n²-6n=0，
求出n₁=0，n₂=2，
∴k₁=

1

2

n²-2n+2=2，k₁=

1

2

n²-2n+2=0，
均不符合題意舍去．
綜合上述：存在，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，2）或（6，8）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，直角三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力，本題難度較大，對(duì)學(xué)生有較高的要求，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．