Question

如圖，已知拋物線經過原點O和x軸上一點A（4，0），拋物線頂點為E，它的對稱軸與x軸交于點D．直線y=-2x-1經過拋物線上一點B（-2，m）且與y軸交于點C，與拋物線的對稱軸交于點F．
（1）求m的值及該拋物線對應的解析式；
（2）P（x，y）是拋物線上的一點，若S_△ADP=S_△ADC，求出所有符合條件的點P的坐標；
（3）點Q是平面內任意一點，點M從點F出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設點M的運動時間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形？若能，請直接寫出點M的運動時間t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出點B的坐標和m的值，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）△ADP與△ADC有共同的底邊AD，因為面積相等，所以AD邊上的高相等，即為1；從而得到點P的縱坐標為1，再利用拋物線的解析式求出點P的縱坐標；
（3）如解答圖所示，在點M的運動過程中，依次出現四個菱形，注意不要漏解．針對每一個菱形，分別進行計算，求出線段MF的長度，從而得到運動時間t的值．
解答：解：（1）∵點B（-2，m）在直線y=-2x-1上
∴m=-2×（-2）-1=4-1=3，
所以，點B（-2，3），
又∵拋物線經過原點O，
∴設拋物線的解析式為y=ax²+bx，
∵點B（-2，3），A（4，0）在拋物線上，
∴，
解得：．
∴設拋物線的解析式為．

（2）∵P（x，y）是拋物線上的一點，
∴，
若S_△ADP=S_△ADC，
∵，，
又∵點C是直線y=-2x-1與y軸交點，
∴C（0，-1），
∴OC=1，
∴，即或，
解得：．
∴點P的坐標為 ．

（3）結論：存在．
∵拋物線的解析式為，
∴頂點E（2，-1），對稱軸為x=2；
點F是直線y=-2x-1與對稱軸x=2的交點，∴F（2，-5），DF=5．
又∵A（4，0），
∴AE=．
如右圖所示，在點M的運動過程中，依次出現四個菱形：
①菱形AEM₁Q₁．
∵此時EM₁=AE=，
∴M₁F=DF-DE-DM₁=4-，
∴t₁=4-；
②菱形AEOM₂．
∵此時DM₂=DE=1，
∴M₂F=DF+DM₂=6，
∴t₂=6；
③菱形AEM₃Q₃．
∵此時EM₃=AE=，
∴DM₃=EM₃-DE=-1，
∴M₃F=DM₃+DF=（-1）+5=4+，
∴t₃=4+；
④菱形AM₄EQ₄．
此時AE為菱形的對角線，設對角線AE與M₄Q₄交于點H，則AE⊥M₄Q₄，
∵易知△AED∽△M₄EH，
∴，即，得M₄E=，
∴DM₄=M₄E-DE=-1=，
∴M₄F=DM₄+DF=+5=，
∴t₄=．
綜上所述，存在點M、點Q，使得以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形；時間t的值為：t₁=4-，t₂=6，t₃=4+，t₄=．
點評：本題是二次函數綜合題，考查的知識點包括二次函數的圖象與性質、一次函數、待定系數法、圖形面積、菱形的判定與性質等，由于涉及考點眾多，所以難度較大．第（2）問是存在型問題，要點在于利用面積的相等關系求出點P的縱坐標，然后運用方程思想求得其橫坐標；第（3）問是運動型問題，注意符合條件的菱形有四個，避免漏解．