Question

已知AB是圓O的直徑，PB切圓O于點B，∠APB的平分線分別交BC、AB于點D、E，交圓O于點F，PA交圓O于點C，∠A=60°，線段AE、BD的長是一元二次方程x2-kx+2

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=0（k為常數(shù)）的兩個根．
（1）求證：PA•BD=PB•AE；
（2）求證：圓O的直徑為k；
（3）求tan∠FPA．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)弦切角定理和角平分線的定義發(fā)現(xiàn)兩個相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質進行證明；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系即可證明；
（3）根據(jù)角平分線的定義，可以把∠FPA轉化為∠BPE，放到直角三角形BPE中，只需求得BP和BE的長．根據(jù)根與系數(shù)的關系得到AE•BD=2

3

，根據(jù)三角形的外角的性質可以發(fā)現(xiàn)∠BED=∠BDE，得到BE=BD．再結合相似三角形的性質得到BE：AE=BD：AE=BP：AP=sin60°=

3

2

．聯(lián)立兩個方程，即可求得BE、AE的長，即求得AB的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念進一步求得BP的長．

解答：解：（1）∵PB切⊙O于點B，
∴∠PBD=∠A，又∠APE=∠BPF，
∴△PAE∽△PBD，
∴

PA

PB

=

AE

BD

，
即PA•BD=PB•AE．

（2）∵線段AE、BD是一元二次方程x²-kx+2

3

=0的兩根（k為常數(shù)），
根據(jù)根與系數(shù)的關系，得AE+BD=k，
∵∠BED=∠A+∠APD，
∠BDE=∠PBD+∠BPD，
∴∠BED=∠BDE，
∴BD=BE，
∴AE+BE=k，
即AB=k．

（3）∵△PAE∽△PBD，
∴BD：AE=PB：PA，
∵∠A=60°，
∴PB：PA=sin60°=

3

2

，
∴BD：AE=

3

2

①，
BD•AE=2

3

②，
由①，②得，BD=

3

，AE=2，
BP=3+2

3

，
∴tan∠BPD=BE：BP=2-

3

，
即tan∠FPA=2-

3

．

點評：本題是一道綜合題，運用了弦切角定理、根與系數(shù)的關系、相似三角形的性質和判定方法．是中考壓軸題，難度較大．