Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AB上，DE⊥EB．
（1）求證：AC是△BDE的外接圓的切線(xiàn)．
（2）若AD=，AE=，求EC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：取BD中點(diǎn)O，連接OE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠EBO，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠EBO，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∵BC⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵OE為半徑，
∴AC是△BDE的外接圓的切線(xiàn)；

（2）解：設(shè)⊙O半徑為R，
則在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA²=AE²+OE²，
即（R+2）²=R²+（6）²，
解得：R=2，
∴OA=2OE，
∴∠A=30°，∠AOE=60°，
∴∠CBE=∠OBE=30°，
∴EC=BE=×R=××2=3．
分析：（1）取BD中點(diǎn)O，連接OE，求出∠CBE=∠EBO，∠OEB=∠EBO，推出∠OEB=∠CBE，推出OE∥BC，求出OE⊥AC，根據(jù)切線(xiàn)的判定推出即可；
（2）設(shè)⊙O半徑為R，在Rt△AOE中，由勾股定理得出（R+2）²=R²+（6）²，求出R=2，求出∠A=30°，∠CBE=∠OBE=30°，推出EC=BE=×R，代入求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定，平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．