Question

在△ABC中， AB=AC ，∠A=300，將線段 BC 繞點 B 逆時針旋轉 600得到線段 BD ，再將線段BD平移到EF，使點E在AB上，點F在AC上．

（1）如圖 1，直接寫出∠ABD和∠CFE的度數；

（2）在圖1中證明：AE =CF；

（3）如圖2，連接 CE ，判斷△CEF的形狀并加以證明．

 

 

Answer 1

（1）15°，45°；（2）證明見解析；（3）△CEF是等腰直角三角形，證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據等腰三角形的性質得到∠ABC的度數，由旋轉的性質得到∠DBC的度數，從而得到∠ABD的度數；根據三角形外角性質即可求得∠CFE的度數.

（2）連接CD、DF，證明△BCD是等邊三角形，得到CD =BD，由平移的性質得到四邊形BDFE是平行四邊形，從而AB∥FD，證明△AEF≌△FCD即可得AE =CF．

（3）過點E作EG⊥CF于G，根據含30度直角三角形的性質，垂直平分線的判定和性質即可證明△CEF是等腰直角三角形.

（1）∵在△ABC中， AB=AC ，∠A=300，∴∠ABC=750.

∵將線段 BC 繞點 B 逆時針旋轉 600得到線段 BD ，即∠DBC=600．∴∠ABD= 15°.

∴∠CFE=∠A+∠ABD=45°．

（2）如圖，連接CD、DF．

∵線段 BC 繞點 B 逆時針旋轉 60?得到線段 BD，∴BD =BC ，∠CBD =600．∴△BCD是等邊三角形．

∴CD =BD ．

∵線段BD平移到EF，∴EF∥BD ，EF= BD ．

∴四邊形BDFE是平行四邊形，EF= CD．

∵AB=AC ，∠A=300，∴∠ABC=∠ACB=750．∴∠ABD=∠ACD=15°．

∵四邊形BDFE是平行四邊形，∴AB∥FD．∴∠A=∠CFD.

∴△AEF≌△FCD（AAS）．

∴AE =CF．

（3）△CEF是等腰直角三角形，證明如下：

如圖，過點E作EG⊥CF于G，

∵∠CFE =45°，∴∠FEG=45°．∴EG=FG．

∵∠A=300，∠AGE=90°，∴．

∵AE=CF，∴．∴．∴G為CF的中點．∴EG為CF的垂直平分線．

∴EF=EC．

∴∠CEF=∠FEG=90°．

∴△CEF是等腰直角三角形．

考點：1.旋轉和平移問題；2．等腰三角形的性質；3．三角形外角性質；4．等邊三角形的判定和性質；5.平行四邊形的判定和性質；6.全等三角形的判定和性質；7．含30度直角三角形的性質；8．垂直平分線的判定和性質；9．等腰直角三角形的判定.