如果一個點能與另外兩個點構(gòu)成直角三角形,則稱這個點為另外兩個點的勾股點.例如:矩形ABCD中,點C與A,B兩點可構(gòu)成直角三角形ABC,則稱點C為A,B兩點的勾股點.同樣,點D也是A,B兩點的勾股點
1.如圖1,矩形ABCD中,AB=3,BC=1,請在邊CD上作出A,B兩點(除C,D以外)的勾股點(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法).
(1) 2.如圖2,矩形ABCD中,
AB=12cm,BC=4 cm,DM=8 cm,AN=5 cm.動點P從D點出發(fā)沿著DC方向以1 cm/s的速度向右移動,過點P的直線l平行于BC,當(dāng)點P運動到點M時停止運動.設(shè)運動時間為t(s) ,點H為M,N兩點的勾股點,且點H在直線l上.
①當(dāng)t=4,求PH的長.
②探究滿足條件的點H的個數(shù)(直接寫出點H的個數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍,不必證明).
1.以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點有兩個 ----------1分
2.①當(dāng)t=4時,有3個勾股點.如圖,
PH=或PH=2或PH=3 .每種情況各1分 --3分
②當(dāng)0≤ t<4時,有2個勾股點;
當(dāng)t=4時,有3個勾股點;
當(dāng)4<t<5時,有4個勾股點;
當(dāng)t=5時,有2個勾股點;
當(dāng)5<t<8時,有4個勾股點;
當(dāng)t=8時,有2個勾股點. -------------------------5分
(除①的情況,其余每種1分)
綜上所述,當(dāng)0≤ t<4或t=5或t=8時,有2個勾股點;當(dāng)t=4時,有3個勾股點;當(dāng)4<t<5或5<t<8時,有4個勾股點.
【解析】(1)以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點,或線段CD的中點就是A,B兩點在CD上的勾股點;
(2)①如圖,當(dāng)t=4時,PM=8-4=4,QN=5-4=1,分三種情況:
當(dāng)∠MHN=90°時,根據(jù)已知條件可以證明△PMH∽△QHN,然后利用相似三角形對應(yīng)線段成比例即可求出PH;
當(dāng)∠H''NM=90°時,設(shè)PH=x,那么H''Q=4-x,根據(jù)勾股定理得到PM2+PH''2=QN2+H''Q2+MN2,而MN==5,依次即可求出PH'';
當(dāng)∠H'MN=90°時,根據(jù)勾股定理得到H'P2+PM2+QH'2+QN2=MN2,而H'Q=PH'+PQ=PH'+4,依次即可求出PH'.
②利用①的結(jié)果可以探究滿足條件的點H的個數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍.
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如果一個點能與另外兩個點能構(gòu)成直角三角形,則稱這個點為另外兩個點的勾股點.例如:矩形ABCD中,點C與A,B兩點可構(gòu)成直角三角形ABC,則稱點C為A,B兩點的勾股點.同樣,點D也是A,B兩點的勾股點.
1.如圖1,矩形ABCD中,AB=2,BC=1,請在邊CD上作出A,B兩點的勾股點(點C和點D除外)(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法);
2.矩形ABCD中,AB=3,BC=1,直接寫出邊CD上A, B兩點的勾股點的個數(shù);
3.如圖2,矩形ABCD中,AB=12,BC=4,DP=4,DM=8,AN=5.過點P作直線l平行于BC,點H為M,N兩點的勾股點,且點H在直線l上.求PH的長
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