Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm，點A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、B和D（4，-

2

3

）．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如果點P由點A出發(fā)沿AB邊以2cm/s的速度向點B運動，同時點Q由點B出發(fā)，沿BC邊以1cm/s的速度向點C運動，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止運動．設(shè)S=PQ²（cm²）．
①試求出S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)t為何值時，S最小，最小值是多少；
（3）在拋物線的對稱軸上求點M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）只需先求出點A、B的坐標(biāo)，然后再運用待定系數(shù)法就可解決問題；
（2）由題可知：AP=2t，BQ=t，PB=2-2t，（0≤t≤1）．
①在Rt△PBQ中運用勾股定理即可得到S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
②只需運用配方法就可解決問題；
（3）根據(jù)軸對稱性可得MA=MB，則MD-MA=MD-MB，然后根據(jù)兩點之間線段最短可得：當(dāng)A、D、M三點共線時，MD-MB（即MD-MA）取到最大值，然后只需求出直線BD的解析式，就可得到直線BD與對稱軸x=1的交點M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題可知：點A的坐標(biāo)為（0，-2），點B的坐標(biāo)為（2，-2），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（0，-2）、B（2，-2）和D（4，-

2

3

），
∴

c=-2 4a+2b+c=-2 16a+4b+c=- 2 3

，
解得：

a= 1 6 b=- 1 3 c=-2

．
∴拋物線的表達(dá)式為y=

1

6

x²-

1

3

x-2．

（2）由題可知：AP=2t，BQ=t，PB=2-2t，（0≤t≤1），
①在Rt△PBQ中，
S=PQ²=PB²+BQ²=（2-2t）²+t²=5t²-8t+4，
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=5t²-8t+4，（0≤t≤1）；
②S=5t²-8t+4=5（t-

4

5

）²+

4

5

，
∵5＞0，
∴當(dāng)t=

4

5

時，S取最小值為

4

5

．

（3）拋物線y=

1

6

x²-

1

3

x-2的對稱軸為x=-

- 1 3

2× 1 6

=1．
∵A（0，-2），B（2，-2），
∴點A、點B關(guān)于對稱軸x=1對稱．
∵點M在對稱軸x=1上，
∴MA=MB，
∴MD-MA=MD-MB．
根據(jù)兩點之間線段最短可得：
MD≤MB+BD，即MD-MB≤BD，
當(dāng)A、D、M三點共線時，MD-MB取到最大值，即MD-MA取到最大值．
設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n，
則

2m+n=-2 4m+n=- 2 3

，
解得：

m= 2 3 n=- 10 3

，
∴直線BD的解析式為y=

2

3

x-

10

3

，
當(dāng)x=1時，y=

2

3

×1-

10

3

=-

8

3

，
∴點M的坐標(biāo)為（1，-

8

3

）．

點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求拋物線及直線的解析式、拋物線的軸對稱性、解方程組、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，運用配方法是解決第（2）②小題的關(guān)鍵，運用軸對稱性將MD-MA轉(zhuǎn)化為MD-MB是解決第（3）小題的關(guān)鍵．