Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸、y軸分別相交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D．（1）求：經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）求四邊形ABDC的面積；
（3）試判斷△BCD與△COA是否相似？若相似寫出證明過程；若不相似，請說明理由．
注：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，由待定系數(shù)可求出拋物線解析式；
（2）求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，作輔助線把四邊形ABDC的面積拆為二個三角形面積加上一梯形的面積，從而求出四邊形ABDC的面積；
（3）判斷△BCD與△COA是否相似，驗(yàn)證是否滿足相似比例關(guān)系．
解答：解：（1）由題意，得，
解之，得，
∴y=-x²+2x+3；

（2）由（1）可知y=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，4），
設(shè)其對稱軸與x軸的交點(diǎn)為E，
∵S_△AOC=|AO|•|OC|，
=×1×3，
=，（5分）
S_梯形OEDC=（|DC|+|DE|）×|OE|，
=（3+4）×1，
=，
S_△DEB=|EB|•|DE|，
=×2×4，
=4，（7分）
S_{四邊形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OEDC+S_△DEB，
=++4，
=9；

（3）△DCB與△AOC相似，（9分）
證明：過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為F，
∵D（1，4），F(xiàn)（0，4），
∴Rt△DFC中，DC=，且∠DCF=45°，
在Rt△BOC中，∠OCB=45°，BC=，
∴∠AOC=∠DCB=90°三角形相似，
，
∴△DCB∽△AOC．
點(diǎn)評：本題結(jié)合了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查了不規(guī)則四邊形面積的求法和三角形相似．注意輔助線的作法，學(xué)會拆不規(guī)則圖形來求其面積．