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【題目】已知,拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A(﹣1,0)和C0,3).(1)求拋物線的解析式;(2)在拋物線的對稱軸上,是否存在點P,使PA+PC的值最?如果存在,請求出點P的坐標,如果不存在,請說明理由;(3)設點M在拋物線的對稱軸上,當△MAC是直角三角形時,求點M的坐標.

【答案】(1);(2)的值最小時,點P的坐標為;(3)點M的坐標為、、.

【解析】

由點A、C的坐標,利用待定系數法即可求出拋物線的解析式;

連接BC交拋物線對稱軸于點P,此時取最小值,利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點B的坐標,由點B、C的坐標利用待定系數法即可求出直線BC的解析式,利用配方法可求出拋物線的對稱軸,再利用一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標;

設點M的坐標為,則,,分、三種情況,利用勾股定理可得出關于m的一元二次方程或一元一次方程,解之可得出m的值,進而即可得出點M的坐標.

解:代入中,

得:,解得:,

拋物線的解析式為

連接BC交拋物線對稱軸于點P,此時取最小值,如圖1所示.

時,有,

解得:,

B的坐標為

拋物線的解析式為,

拋物線的對稱軸為直線

設直線BC的解析式為,

、代入中,

得:,解得:,

直線BC的解析式為

時,,

的值最小時,點P的坐標為

設點M的坐標為,

,

分三種情況考慮:

時,有,即,

解得:,

M的坐標為;

時,有,即,

解得:

M的坐標為;

時,有,即,

解得:,

M的坐標為

綜上所述:當是直角三角形時,點M的坐標為、、

練習冊系列答案
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(1)分別寫出A、B、C的坐標;

(2)請在這個坐標系內畫出A1B1C1,使A1B1C1ABC關于y軸對稱,并寫出B1的坐標;

(3)請在這個坐標系內畫出A2B2C2,使A2B2C2ABC關于原點對稱,并寫出A2的坐標.

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4a﹣2b+c<0;2a﹣b<0;abc<0;b2+8a<4ac.

其中正確的結論有( 。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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