Question

15．如圖①，在等邊△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，⊙O的圓心與點(diǎn)D重合，⊙O與線段CD交于點(diǎn)E，且CE=4cm．將⊙O沿DC方向向上平移1cm后，如圖②，⊙O恰與△ABC的邊AC、BC相切，則等邊△ABC的邊長(zhǎng)為$\frac{14\sqrt{3}}{3}$cm．

Answer 1

分析 如圖，設(shè)圓O與BC的切點(diǎn)為M，連接OM，根據(jù)切線的性質(zhì)可以得到∠OMC=90°，而根據(jù)已知條件可以得到∠DCB=30°，設(shè)AB為2xcm，根據(jù)等邊三角形得到CD=$\sqrt{3}$xcm，而CE=2cm，又將量角器沿DC方向平移1cm，由此得到半圓的半徑為（$\sqrt{3}$x-4）cm，OC=（$\sqrt{3}$x-1）cm，然后在Rt△OCM中利用三角函數(shù)可以列出關(guān)于x的方程，解方程即可求解．

解答 解：如圖，設(shè)圖②中圓O與BC的切點(diǎn)為M，
連接OM，
則OM⊥MC，
∴∠OMC=90°，
依題意知道∠DCB=30°，
設(shè)AB為2xcm，
∵△ABC是等邊三角形，
∴CD=$\sqrt{3}$xcm，
而CE=4cm，又將量角器沿DC方向平移1cm，
∴半圓的半徑為（$\sqrt{3}$x-4）cm，OC=（$\sqrt{3}$x-1）cm，
∴sin∠DCB=$\frac{OM}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}x-4}{\sqrt{3}x-1}$=$\frac{1}{2}$，
∴x=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
∴等邊△ABC的邊長(zhǎng)為=2x=2×$\frac{7\sqrt{3}}{3}$=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$（cm）．
故答案為：$\frac{14\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．