Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+2交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．
（1）求線段AB的長；   
（2）若點(diǎn)E在AB上，OE⊥OF，且OE=OF，求AF+AE的值；
（3）在第2問的條件下過O作OM⊥EF交AB于M，試確定線段BE、EM、AM的數(shù)量關(guān)系？
并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）先求出A點(diǎn)與B點(diǎn)坐標(biāo)得到OA=OB=2，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=

2

OA=2

2

；
（2）由OE⊥OF，根據(jù)等角的余角相等得到∠BOE=∠AOF，而OB=OA，OE=OF，得到△BOE≌△AOF，則BE=AF，得到AF+AE=BE+AE=AB=2

2

；
（3）連MF，△OEF為等腰直角三角形并且OM⊥EF，得到OM為EF的垂直平分線，則MF=ME，又∠OAF=∠OBE=45°，即∠FAM=90°，利用勾股定理得到AM²+AF²=MF²，進(jìn)行等線段代換后即可得到AM²+BE²=ME²．

解答：解：（1）令x=0，y=2，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）所以O(shè)B=2；令y=0，-x+2=0，則x=2，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），所以O(shè)A=2，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴AB=

2

OA=2

2

；

（2）∵OE⊥OF，
∴∠BOE=∠AOF，
在△BOE和△AOF中

OB=OA ∠BOE=∠AOF OE=OF

，
∴△BOE≌△AOF（SAS），
∴BE=AF，
∴AF+AE=BE+AE=AB=2

2

；

（3）線段BE、EM、AM的數(shù)量關(guān)關(guān)系為：AM²+BE²=ME²．理由如下：
連MF，如圖，∵OE⊥OF，且OE=OF，
∴△OEF為等腰直角三角形，
∵OM⊥EF，
∴OM為EF的垂直平分線，
∴MF=ME，
又∵△BOE≌△AOF，
∴∠OAF=∠OBE=45°，
∴∠FAM=90°，
∴AM²+AF²=MF²，
∴AM²+BE²=ME²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題：根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出直線與坐標(biāo)的交點(diǎn)坐標(biāo)，得到有關(guān)的線段長．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理．