如圖，拋物線y=ax2+bx-4與x軸交于A（4，0）、B（-2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），過點(diǎn)P作PD∥AC，交BC于點(diǎn)D，連接CP．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，BP2=BD•BC；
（3）當(dāng)△PCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（1）由題意，得
16a+4b-4=0
4a-2b-4=0
，
解得
a=
1
2
b=-1
，
∴拋物線的解析式為y=
1
2
x2-x-4；

（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（x，0）時(shí)，有BP2=BD•BC，
令x=0時(shí)，則y=-4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4）．
∵PD∥AC，
∴△BPD∽△BAC，
∴
BD
BC
=
BP
BA
．
∵BC=
BO2+OC2
=
22+42
=2
5
，
AB=6，BP=x-（-2）=x+2．
∴BD=
BP×BC
BA
=
2
5
(x+2)
6
=
5
(x+2)
3
．
∵BP2=BD•BC，
∴（x+2）2=
5
(x+2)
3
×2
5
，
解得x1=
4
3
，x2=-2（-2不合題意，舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（
4
3
，0），即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（
4
3
，0）時(shí)，BP2=BD•BC；

（3）∵△BPD∽△BAC，
∴
S△BPD
S△BAC
=(
BP
AB
)2，
∴S△BPD=(
BP
AB
)2•S△BAC=(
x+2
6
)2×
1
2
×6×4=
(x+2)2
3

S△PDC=S△PBC-S△PBD=
1
2
×（x+2）×4-
(x+2)2
3
=-
1
3
(x-1)2+3
∵-
1
3
＜0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，S△PDC有最大值為3．
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，△PDC的面積最大．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線y=x2+bx-3a過點(diǎn)A（1，0），B（0，-3），與x軸交于另一點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若在第三象限的拋物線上存在點(diǎn)P，使△PBC為以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使以P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，己知Rt△OAB的斜邊OA在x軸正半軸上，直角頂點(diǎn)B在第一象限，OA=5，OB=
5
．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)且對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線的解析式，并確定拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BA=CD，AD的長(zhǎng)為4，S梯形ABCD=9．已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，0）和（0，3）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）取點(diǎn)E（0，1），連接DE并延長(zhǎng)交AB于P試猜想DF與AB之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）將梯形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°后成梯形AB′C′D′，求對(duì)稱軸為直線x=3，且過A、B′兩點(diǎn)的拋物線的解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠AOB=30°，∠B=90°，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A，B，O三點(diǎn)，求此二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）中的二次函數(shù)圖象的OB段（不包括O，B點(diǎn)）上，是否存在一點(diǎn)C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及四邊形ABCO的最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知二次函數(shù)y=mx2+（m-1）x+m-1有最小值O，則m的值是______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C，P的坐標(biāo)分別為（0，2），（3，2），（2，3），（1，1）．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△A′B′C′，使得△A′B′C′與△ABC關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱；
（2）若一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（1）中△A′B′C′的三個(gè)頂點(diǎn)，求此二次函數(shù)的關(guān)系式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

蔬菜基地種植某種蔬菜，由市場(chǎng)行情分析知，1月份至6月份這種蔬菜的上市時(shí)間x（月份）與市場(chǎng)售價(jià)p（元/千克）的關(guān)系如下表：
上市時(shí)間x（月份）123456
市場(chǎng)售價(jià)p（元/千克）10.597.564.53
這種蔬菜每千克的種植成本y（元/千克）與上市時(shí)間x（月份）滿足一個(gè)函數(shù)關(guān)系，這個(gè)函數(shù)的圖象是拋物線的一段（如圖）．

（1）寫出上表中表示的市場(chǎng)售價(jià)p（元/千克）關(guān)于上市時(shí)間x（月份）的函數(shù)關(guān)系式______；
（2）若圖中拋物線過A，B，C點(diǎn)，寫出拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式______；
（3）由以上信息分析，______月份上市出售這種蔬菜每千克的收益最大，最大值為______元（收益=市場(chǎng)售價(jià)一種植成本）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

將函數(shù)y=
3
3
x的圖象向上平移2個(gè)單位，得到一個(gè)新函數(shù)，平移前后的兩個(gè)函數(shù)圖象分別與y軸交于O、A兩點(diǎn)，與直線x=-
3
分別交于C、B兩點(diǎn)．
（1）求這個(gè)新函數(shù)的解析式；
（2）判斷以A、B、C、O四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形形狀，并說明理由；
（3）若（2）中的四邊形（不包括邊界）始終覆蓋著二次函數(shù)y=x2-2bx+b2+
1
2
的圖象的一部分，求滿足條件的實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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