Question

（2012•峨眉山市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B（2

2

，0）、A（m，0）（0＜m＜

2

），以AB為邊在x軸下方作正方形ABCD，點(diǎn)E是線段OD與正方形ABCD的外接圓的交點(diǎn)，連接BE與AD相交于點(diǎn)F．
（1）求證：BF=DO；
（2）若

AE

=

DE

，試求經(jīng)過(guò)B、F、O三點(diǎn)的拋物線l的解析式；
（3）在（2）的條件下，將拋物線l在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象，若直線BE向上平移t個(gè)單位與新圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，試求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）本題可通過(guò)全等三角形來(lái)證簡(jiǎn)單的線段相等，三角形ABF和ADO中，根據(jù)圓周角定理可得出∠ABF=∠ADO，已知了一組直角和AB=AD，因此兩三角形全等，即可得出BF=OD的結(jié)論；
（2）如果G是三角形BDO的外心，根據(jù)三角形外心定義可知BE必垂直平分OD，因此三角形BOD是等腰三角形．在等腰直角三角形ABD中，BD=BO=2

2

，AB=OB-OA=2

2

+m，因此可根據(jù)AB、BD的比例關(guān)系求出m的值，即可得出OA的長(zhǎng)，而在（1）得出的全等三角形中，可得出OA=FG，據(jù)此可求出F點(diǎn)坐標(biāo)．已知了B、F、O三點(diǎn)坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）當(dāng)直線BE與y軸相交于G，向上平移直線BE使平移后的直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，由圖象知，在平移前直線BE與新圖象有1個(gè)公共點(diǎn)，平移到經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)與新圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，并且0＜t＜OG，利用已知條件求出OG的長(zhǎng)即可求出t的取值范圍；當(dāng)直線BE向上平移至于拋物線相切后再向上平移時(shí)，直線BE與圖象的交點(diǎn)又變?yōu)閮蓚�(gè)，設(shè)相切時(shí)直線BE的解析式為y=(

2

-1)x+b，求出方程組的解，進(jìn)而求出t的取值范圍．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠DAO=90°
在△ABF和△ADO中
∵∠ABF=∠ADO，AB=AD，∠BAF=∠DAO
∴△ABF≌△ADO
∴BF=DO；

（2）∵A（m，0），B（2

2

，0），
∴AO=m，BO=2

2

，AB=2

2

-m，
∵弧AE=弧DE，
∴∠EBO=∠EBD，
∵∠DAB=90°，
∴BD為直徑∴∠BEO=∠BED=90°，
又∵BE=BE，
∴△BEO≌△BED，
∴BD=BO=2

2

，
在Rt△BCD中BD=

2

AB，
∴2

2

=

2

(2

2

-m)，
∴m=2

2

-2，
∵△ABF≌△ADO，
∴AF=AO=m=2

2

-2，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2

2

-2，2-2

2

)，
∵拋物線l經(jīng)過(guò)O（0，0），B（2

2

，0），
設(shè)l的解析式為y=ax(x-2

2

)，
將F(2

2

-2，2-2

2

)代入得：a=

1

2

，
∴拋物線l的解析式為y=

1

2

x2-

2

x；

（3）①如圖，設(shè)直線BE與y軸相交于G，向上平移直線BE使平移后的直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，由圖象知，在平移前直線BE與新圖象有1個(gè)公共點(diǎn)，平移到經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)與新圖象有3個(gè)公共點(diǎn)．∴0＜t＜OG
設(shè)直線BE的解析式為y=kx+m，將B（2

2

，0），F(xiàn)(2

2

-2，2-2

2

)代入易求出：y=(

2

-1)小x-4+2

2

，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-4+2

2

，
∴OG=4-2

2

，
此時(shí)t的取值范圍是：0＜t＜4-2

2

．
②如圖，當(dāng)直線BE向上平移至于拋物線相切后再向上平移時(shí)，直線BE與圖象的交點(diǎn)又變?yōu)閮蓚�(gè)，設(shè)相切時(shí)直線BE的解析式為y=(

2

-1)x+b，則方程組

y=- 1 2 x2+ 2 x y=( 2 -1)x+b

有一個(gè)解，

于是方程-

1

2

x2+

2

x=(

2

-1)x+b有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求出b=

1

2

，
此時(shí)直線BE的解析式為y=(

2

-1)x+

1

2

，
直線BE與y軸的交點(diǎn)為（0，

1

2

）

1

2

+(4-2

2

)=

9

2

-2

2

，
∴此時(shí)t的取值范圍是：t＞

9

2

-2

2

．
綜上所述：t的取值范圍為：0＜t＜4-2

2

或t＞

9

2

-2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)和圓的交點(diǎn)問(wèn)題，以及正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)，本題有一定的難度，綜合性也比較強(qiáng)，有一定的新意，第3小問(wèn)有些難度，有一定的能力要求，解這種題時(shí)需冷靜地分析題意，找到切入點(diǎn)不會(huì)很難．