Question

如圖，PQ為圓O的直徑，點(diǎn)B在線段PQ的延長(zhǎng)線上，OQ=QB=1，動(dòng)點(diǎn)A在圓O的上半圓運(yùn)動(dòng)（含P、Q兩點(diǎn)），以線段AB為邊向上作等邊三角形ABC．
（1）當(dāng)線段AB所在的直線與圓O相切時(shí)，求△ABC的面積（圖1）；
（2）設(shè)∠AOB=α，當(dāng)線段AB、與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)（即A點(diǎn)）時(shí)，求α的范圍（圖2，直接寫(xiě)出答案）；
（3）當(dāng)線段AB與圓O有兩個(gè)公共點(diǎn)A、M時(shí)，如果AO⊥PM于點(diǎn)N，求CM的長(zhǎng)度（圖3）．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,等邊三角形的性質(zhì),勾股定理,切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),特殊角的三角函數(shù)值

專題：綜合題,動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）連接OA，如下圖1，根據(jù)條件可求出AB，然后AC的高BH，求出BH就可以求出△ABC的面積．
（2）如下圖2，首先考慮臨界位置：當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合時(shí)，線段AB與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)α=0°；當(dāng)線段AB所在的直線與圓O相切時(shí)，線段AB與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)α=60°．從而定出α的范圍．
（3）連接MQ，如下圖3，易證AO∥MQ，從而得到△PNO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，從而可以求出MQ、ON，進(jìn)而求出PN、NM、AM、CM的值．

解答：解：（1）連接OA，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，如圖1所示．
∵AB與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴OA⊥AB．
∴∠OAB=90°．
∵OQ=QB=1，
∴OA=1．
∴AB=

OB2-OA2

=

22-12

=

3

．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=

3

，∠CAB=60°．
∵sin∠HAB=

HB

AB

，
∴HB=AB•sin∠HAB
=

3

×

3

2

=

3

2

．
∴S_△ABC=

1

2

AC•BH
=

1

2

×

3

×

3

2

=

3 3

4

．
∴△ABC的面積為

3 3

4

．

（2）①當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合時(shí)，
線段AB與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)α=0°；
②當(dāng)線段A₁B所在的直線與圓O相切時(shí)，如圖2所示，
線段A₁B與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)，
此時(shí)OA₁⊥BA₁，OA₁=1，OB=2，
∴cos∠A₁OB=

A1O

OB

=

1

2

．
∴∠A₁OB=60°．
∴當(dāng)線段AB與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)（即A點(diǎn)）時(shí)，
α的范圍為：0°≤α≤60°．

（3）連接MQ，如圖3所示．
∵PQ是⊙O的直徑，
∴∠PMQ=90°．
∵OA⊥PM，
∴∠PNO=90°．
∴∠PNO=∠PMQ．
∴ON∥MQ．
∴△PNO∽△PMQ．
∴

PN

PM

=

NO

MQ

=

PO

PQ

∵PO=OQ=

1

2

PQ．
∴PN=

1

2

PM，ON=

1

2

MQ．
同理：MQ=

1

2

AO，BM=

1

2

AB．
∵AO=1，
∴MQ=

1

2

．
∴ON=

1

4

．
∵∠PNO=90°，PO=1，ON=

1

4

，
∴PN=

15

4

．
∴PM=

15

2

．
∴NM=

15

4

．
∵∠ANM=90°，AN=A0-ON=

3

4

，
∴AM=

AN2+NM2

=

( 3 4 )2+( 15 4 )2

=

6

2

．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．
∵BM=

1

2

AB，
∴AM=BM．
∴CM⊥AB．
∵AM=

6

2

，
∴BM=

6

2

，AB=

6

．
∴AC=

6

．
∴CM=

AC2-AM2

=

( 6 )2-( 6 2 )2

=

3 2

2

．
∴CM的長(zhǎng)度為

3 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、直線與圓相切、勾股定理、特殊三角函數(shù)值等知識(shí)，考查了用臨界值法求角的取值范圍，綜合性較強(qiáng)．