Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，ON為過(guò)原點(diǎn)的一條直線，點(diǎn)E、F為x、y軸上的任意兩點(diǎn)，P為直線ON上一動(dòng)點(diǎn)（不與原點(diǎn)O重合），PM⊥x軸于M點(diǎn)．
（1）若P（a，a）為直線ON上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，求直線ON的解析式；
（2）連接PE、PF，若∠PFO+∠PEO=180°，在（1）的條件下，試問(wèn)線段PE與PF之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)P在直線ON上的第一象限內(nèi)任意運(yùn)動(dòng)時(shí)，在（1）和（2）的條件下，

OE+OF

OM

是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）用待定系數(shù)法求直線ON的解析式．
（2）過(guò)P點(diǎn)作y軸的垂線交y軸于G點(diǎn)，可證△PGF≌△PME，得到PE=PF．
（3）由（2）得OF=OG-GD=OM-ME，OE=OM+ME，則

OE+OF

OM

=2．

解答：解：（1）設(shè)直線ON的解析式為y=kx，P（a，a）代入得k=1，所以直線ON的解析式為y=x．

（2）PE=PF．理由如下：
如圖，過(guò)P點(diǎn)作y軸的垂線交y軸于G點(diǎn)，則PG=PM，
又∵∠PFO+∠PEO=180，∴∠PFG=∠PEM，
∴直角△PGF≌直角△PME，所以PE=PF．

（3）

OE+OF

OM

為定值2．
理由如下：由直角△PGF≌直角△PME，得OM=OG，ME=GF，
所以O(shè)E+OF=OM+ME+OG-GF=OM+ME+OM-ME=2OM，
所以

OE+OF

OM

=2．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握用待定系數(shù)法求直線的解析式；掌握過(guò)角平分線上點(diǎn)向兩邊引垂線，得到垂線段相等；對(duì)證明三角形全等要熟練．