【題目】如圖,在平面直角坐標系中,矩形OABC的頂點B坐標為(4,6),點P為線段OA上一動點(與點O、A不重合),連接CP,過點P作PE⊥CP交AB于點D,且PE=PC,過點P作PF⊥OP且PF=PO(點F在第一象限),連結FD、BE、BF,設OP=t.
(1)直接寫出點E的坐標(用含t的代數式表示):_____;
(2)四邊形BFDE的面積記為S,當t為何值時,S有最小值,并求出最小值;
(3)△BDF能否是等腰直角三角形,若能,求出t;若不能,說明理由.
【答案】(1)、(t+6,t);(2)、當t=2時,S有最小值是16;(3)、理由見解析.
【解析】分析:(1)、過點E作EG⊥x軸于點G,根據題意得出CO=AB=6、OA=BC=4、OP=t,然后通過角之間的關系證明△PCO和△EPG全等,從而得出答案;(2)、根據DA∥EG得出△PAD和△PGE相似,求出AD的長度,然后根據四邊形的面積等于△BDF的面積加上△BDE的面積得出函數解析式,從而求出面積的最值;(3)、根據∠FBD、∠FDB、∠BFD分別為直角,證明是否存在即可得出答案.
詳解:(1)如圖所示,過點E作EG⊥x軸于點G,則∠COP=∠PGE=90°,
由題意知CO=AB=6、OA=BC=4、OP=t,∵PE⊥CP、PF⊥OP,
∴∠CPE=∠FPG=90°,即∠CPF+∠FPE=∠FPE+∠EPG,∴∠CPF=∠EPG,
又∵CO⊥OG、FP⊥OG,∴CO∥FP,∴∠CPF=∠PCO,∴∠PCO=∠EPG,
在△PCO和△EPG中,∵∠PCO=∠EPG,∠POC=∠EGP,PC=EP,∴△PCO≌△EPG(AAS),
∴CO=PG=6、OP=EG=t,則OG=OP+PG=6+t,則點E的坐標為(t+6,t),
(2)∵DA∥EG,∴△PAD∽△PGE,∴,∴,∴AD=t(4﹣t),
∴BD=AB﹣AD=6﹣t(4﹣t)=t2﹣t+6,∵EG⊥x軸、FP⊥x軸,且EG=FP,
∴四邊形EGPF為矩形,∴EF⊥BD,EF=PG,
∴S四邊形BEDF=S△BDF+S△BDE=×BD×EF=×(t2﹣t+6)×6=(t﹣2)2+16,
∴當t=2時,S有最小值是16;
(3)①假設∠FBD為直角,則點F在直線BC上∵PF=OP<AB,
∴點F不可能在BC上,即∠FBD不可能為直角;
②假設∠FDB為直角,則點F在EF上,∵點D在矩形的對角線PE上,
∴點D不可能在EF上,即∠FDB不可能為直角;
③假設∠BFD為直角且FB=FD,則∠FBD=∠FDB=45°如圖2,作FH⊥BD于點H,
則FH=PA,即4﹣t=6﹣t,方程無解,
∴假設不成立,即△BDF不可能是等腰直角三角形.
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【題目】如圖所示,將矩形ABCD的四個角向內折起,恰好拼成一個既無縫隙又無重疊的四邊形EFGH,若EH=3,EF=4,那么線段AD與AB的比等于( 。
A. 25:24 B. 16:15 C. 5:4 D. 4:3
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【題目】如圖,直線 的解析式為,直線 的解析式為,為上的一點,且點的坐標為作直線 軸,交直線于 點,再作于點,交直線 于點,作軸,交直線于點,再作 于點,作軸,交直線于點....按此作法繼續(xù)作下去,則 的坐標為_____,的坐標為______
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【題目】為了提高服務質量,某賓館決定對甲、乙兩種套房進行星級提升,已知甲種套房提升費用比乙種套房提升費用少3萬元,如果提升相同數量的套房,甲種套房費用為625萬元,乙種套房費用為700萬元.
(1)甲、乙兩種套房每套提升費用各多少萬元?
(2)如果需要甲、乙兩種套房共80套,市政府籌資金不少于2090萬元,但不超過2096萬元,且所籌資金全部用于甲、乙種套房星級提升,市政府對兩種套房的提升有幾種方案?哪一種方案的提升費用最少?
(3)在(2)的條件下,根據市場調查,每套乙種套房的提升費用不會改變,每套甲種套房提升費用將會提高a萬元(a>0),市政府如何確定方案才能使費用最少?
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【題目】如圖,已知網格上最小的正方形的邊長為(長度單位),點在格點上.
(1)直接在平面直角坐標系中作出關于軸對稱的圖形(點對應點,點對應點);
(2)的面積為 (面積單位)(直接填空);
(3)點到直線的距離為 (長度單位)(直接填空);
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【題目】我國邊防局接到情報,近海處有一可疑船只正向公海方向行駛,邊防部迅速派出快艇追趕(如圖1) .圖2中分別表示兩船相對于海岸的距離 (海里)與追趕時間(分)之間的關系.根據圖象問答問題:
(1)①直線與直線中 表示到海岸的距離與追趕時間之間的關系;
②與比較 速度快;
③如果一直追下去,那么________ (填 “能”或“不能")追上;
④可疑船只速度是 海里/分,快艇的速度是 海里/分;
(2)與對應的兩個一次函數表達式與中的實際意義各是什么?并直接寫出兩個具體表達式.
(3)分鐘內能否追上?為什么?
(4)當逃離海岸海里的公海時,將無法對其進行檢查,照此速度,能否在逃入公海前將其攔截?為什么?
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【題目】如圖1,在中,,點為邊上一點,連接BD,點為上一點,連接,,過點作,垂足為,交于點.
(1)求證:;
(2)如圖2,若,點為的中點,求證:;
(3)在(2)的條件下,如圖3,若,求線段的長.
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【題目】某科技小組進行野外考察,途中遇到一片十幾米寬的泥地,他們沿著前進路線鋪了若干塊木板,構成一條臨時近道,木板對地面的壓強p(Pa)是木板面積S(m2)的反比例函數,其圖象如圖所示.
(1)寫出這一函數的關系式和自變量的取值范圍.
(2)當木板面積為0.2m2時,壓強是多少?
(3)如果要求壓強不超過6000Pa,那么木板的面積至少為多少?
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【題目】如圖,中,,的平分線與邊的垂直平分線相交于點,交的延長線于點,于點,現有下列結論:①;②;③平分;④,其中正確的是( )
A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④
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