Question

如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）求CD的值．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：根據(jù)題意做出輔助線連接OD，CD．
（1）由圓周角定理得∠BDC=90°，等腰三角形的三線合一性質(zhì)推出∠ACD=∠BCD，根據(jù)等邊對等角，由OC=OD，推出∠BCD=∠ODC，通過等量代換即可推出∠ODC=∠ACD，得出OD∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出DF⊥AC，從而推出EF與⊙O相切；
（2）由等腰三角形的三線合一性質(zhì)AD=BD=

1

2

AB=6，然后根據(jù)勾股定理即可求得CD．

解答：解：如圖，連接OD，CD，
（1）∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴∠ACD=∠BCD，
∵OC=OD，
∴∠BCD=∠ODC，
∴∠ODC=∠ACD，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴∠EDO=90°，
∴OD⊥EF，
∴EF與⊙O相切；
（2）∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴AD=BD=

1

2

AB=6，
∴CD=

BC2-BD2

=

102-62

=8．

點評：本題主要考查了圓周角定理、勾股定理、切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵在于運用數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合相關(guān)性質(zhì)定理，正確的做出輔助線，推出OD∥AC，求得OD⊥EF．