Question

【題目】如圖，△ABC的內接三角形，P為BC延長線上一點，∠PAC=∠B，AD為⊙O的直徑，過C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G。

（1）判斷直線PA與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）求證：AG2=AF·AB；

（3）若⊙O的直徑為10，AC=2，AB=4，求△AFG的面積.

Answer 1

【答案】（1）PA與⊙O相切，理由見解析；（2）證明見解析；（3）3.

【解析】

試題分析：（1）連接CD，由AD為⊙O的直徑，可得∠ACD=90°，由圓周角定理，證得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可證得DA⊥PA，繼而可證得PA與⊙O相切．

（2）連接BG，易證得△AFG∽△AGB，由相似三角形的對應邊成比例，證得結論.

（3）連接BD，由AG2=AFAB，可求得AF的長，易證得△AEF∽△ABD，即可求得AE的長，繼而可求得EF與EG的長，則可求得答案．

試題解析：解：（1）PA與⊙O相切．理由如下：

如答圖1，連接CD，

∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD=90°.

∴∠D+∠CAD=90°.

∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D.

∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA.

∵點A在圓上，

∴PA與⊙O相切．

（2）證明：如答圖2，連接BG，

∵AD為⊙O的直徑，CG⊥AD，∴.∴∠AGF=∠ABG.

∵∠GAF=∠BAG，∴△AGF∽△ABG.

∴AG：AB=AF：AG. ∴AG2=AFAB.

（3）如答圖3，連接BD，

∵AD是直徑，∴∠ABD=90°.

∵AG2=AFAB，AG=AC=2，AB=4，∴AF=.

∵CG⊥AD，∴∠AEF=∠ABD=90°.

∵∠EAF=∠BAD，∴△AEF∽△ABD. ∴，即，解得：AE=2.

∴.

∵，∴.

∴．