Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，與y軸相交于(0， )，點(diǎn)A坐標(biāo)為(－1，2)，點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸的正半軸上．

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；
（2）點(diǎn)F為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥x軸，F(xiàn)G⊥y軸，垂足分別為點(diǎn)E，G，當(dāng)四邊形OEFG為正方形時(shí)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）將（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)平移的距離為t，正方形的邊EF與AC交于點(diǎn)M，DG所在的直線與AC交于點(diǎn)N，連接DM，是否存在這樣的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，

∴拋物線的對(duì)稱軸為y軸，

∴拋物線的頂點(diǎn)為（0， ），

故拋物線的解析式可設(shè)為y=ax2+ ．

∵A（﹣1，2）在拋物線y=ax2+ 上，

∴a+ =2，

解得a=﹣ ，

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為y=﹣ x2+

（2）解：①當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時(shí)，如圖1，

令y=0得，﹣ x2+ =0，

解得：x1=3，x2=﹣3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，

則有 ，

解得 ，

∴直線AC的解析式為y=﹣ x+ ．

設(shè)正方形OEFG的邊長(zhǎng)為p，則F（p，p）．

∵點(diǎn)F（p，p）在直線y=﹣ x+ 上，

∴﹣ p+ =p，

解得p=1，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，1）．

②當(dāng)點(diǎn)F在第二象限時(shí)，

同理可得：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣3，3），

此時(shí)點(diǎn)F不在線段AC上，故舍去．

綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，1）

（3）解：過(guò)點(diǎn)M作MH⊥DN于H，如圖2，

則OD=t，OE=t+1．

∵點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，∴0≤t≤2．

當(dāng)x=t時(shí)，y=﹣ t+ ，則N（t，﹣ t+ ），DN=﹣ t+ ．

當(dāng)x=t+1時(shí)，y=﹣ （t+1）+ =﹣ t+1，則M（t+1，﹣ t+1），ME=﹣ t+1．

在Rt△DEM中，DM2=12+（﹣ t+1）2= t2﹣t+2．

在Rt△NHM中，MH=1，NH=（﹣ t+ ）﹣（﹣ t+1）= ，

∴MN2=12+（ ）2= ．

①當(dāng)DN=DM時(shí)，

（﹣ t+ ）2= t2﹣t+2，

解得t= ；

②當(dāng)ND=NM時(shí)，

﹣ t+ = ，

解得t=3﹣ ；

③當(dāng)MN=MD時(shí)，

= t2﹣t+2，

解得t1=1，t2=3．

∵0≤t≤2，∴t=1．

綜上所述：當(dāng)△DMN是等腰三角形時(shí)，t的值為 ，3﹣ 或1．

【解析】（1）根據(jù)題意可知拋物線的對(duì)稱軸是y軸以及頂點(diǎn)為（0，94），可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+94，利用待定系數(shù)法將A點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a，進(jìn)而可得到拋物線解析式。
（2）由于點(diǎn)F為AC上一動(dòng)點(diǎn)，因此要對(duì)點(diǎn)F的位置分為①當(dāng)點(diǎn)F在第一象限；②當(dāng)點(diǎn)F在第二象限兩種情況進(jìn)行討論。先根據(jù)題意可求出直線AC的函數(shù)解析式，再設(shè)OEFG的邊長(zhǎng)為p，則F（p，p），由于點(diǎn)F為AC上一點(diǎn)，那么只要將點(diǎn)F代入AC的解析式中即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，注意在求得F的坐標(biāo)后要驗(yàn)證其是否在線段AC上。
（3）過(guò)點(diǎn)MH⊥DN于H，根據(jù)據(jù)題意可得0≤t≤2，然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2，分三種情況（①DN=DM，②ND=NM，③MN=MD）建立方程，解方程討論就可求出△DMN是等腰三角形時(shí)t的值。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解因式分解法的相關(guān)知識(shí)，掌握已知未知先分離，因式分解是其次．調(diào)整系數(shù)等互反，和差積套恒等式．完全平方等常數(shù)，間接配方顯優(yōu)勢(shì)，以及對(duì)確定一次函數(shù)的表達(dá)式的理解，了解確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法．