Question

如圖所示．P，Q分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點(diǎn)，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求證：QH⊥DH．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：要證QH⊥DH，只要證明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，從而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ與△DHC相似．

解答：證明：在Rt△PBC中，∵BH⊥PC，
∴∠PBC=∠PHB=90°，
∴∠PBH=∠PCB．
顯然，Rt△PBC∽R(shí)t△BHC，
∴

BH

PB

=

HC

BC

，
由已知，BP=BQ，BC=DC，
∴

BH

BQ

=

HC

CD

，∴

BH

CH

=

BQ

CD

．
∵∠ABC=∠BCD=90°，∠PBH=∠PCB，
∴∠HBQ=∠HCD．
在△HBQ與△HCD中，∵

BH

CH

=

BQ

CD

，∠HBQ=∠HCD，
∴△HBQ∽△HCD，
∴∠BHQ=∠DHC，
∠BHQ+∠QHC=∠DHC+∠QHC．
又∵∠BHQ+∠QHC=90°，
∴∠QHD=∠QHC+DHC=90°，
即DH⊥HQ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，難度適中，關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．