Question

若方程x²-3x-1=0的兩根也是方程x⁴+ax²+bx+c=0的根，則a+b-2c的值為（　　）

• A、-13
• B、-9
• C、6
• D、0

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的解

專題：方程思想

分析：設(shè)m是方程x²-3x-1=0的一個(gè)根．根據(jù)方程解的意義知，m既滿足方程x²-3x-1=0，也滿足方程x⁴+ax²+bx+c=0，將m代入這兩個(gè)方程，并整理，得（9+a）m²+（6+b）m+c+1=0．從而可知：方程x²-3x-1=0的兩根也是方程（9+a）x²+（6+b）x+c+1=0的根，
這兩個(gè)方程實(shí)質(zhì)上應(yīng)該是同一個(gè)一元二次方程，然后根據(jù)同一個(gè)一元二次方程的定義找出相對(duì)應(yīng)的系數(shù)間的關(guān)系即可．

解答：解：設(shè)m是方程x²-3x-1=0的一個(gè)根，則m²-3m-1=0，所以m²=3m+1．
由題意，m也是方程x⁴+ax²+bx+c=0的根，所以m⁴+am²+bm+c=0，
把m²=3m+1代入此式，得（3m+1）²+am²+bm+c=0，整理得（9+a）m²+（6+b）m+c+1=0．
從而可知：方程x²-3x-1=0的兩根也是方程（9+a）x²+（6+b）x+c+1=0的根，
這兩個(gè)方程實(shí)質(zhì)上應(yīng)該是同一個(gè)一元二次方程，
從而有（9+a）x²+（6+b）x+c+1=k（x²-3x-1）（其中k為常數(shù)），
故，所以b=-3a-33，c=-a-10．
因此，a+b-2c=a+（-3a-33）-2（-a-10）=-13．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程的解．該題難度比較大，在解題時(shí)，采用了“轉(zhuǎn)化法”，即將所求轉(zhuǎn)化為求（9+a）x²+（6+b）x+c+1=k（x²-3x-1）（其中k為常數(shù)）的相應(yīng)的系數(shù)間的關(guān)系．