Question

求證：有兩條中線相等的三角形是等腰三角形．

Answer 1

已知：BD、CE是△ABC的兩條中線（如圖），BD=CE
求證：AB=AC．
證明1：作中線AF，則三條中線交于重心G．
∵，，
∴BG=CG；
∴GF⊥BC，即AF⊥BC．
又∵AF是中線，
∴AB=AC．

證明2：如圖，將EC沿ED平移得DF，連接ED、CF，則四邊形EDFC是平行四邊形，
∴DF=EC，
而EC=BD，
∴BD=DF．
又∵D、E分別AC、AB的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，
∴B、C、F三點(diǎn)共線．
∴∠DBF=∠DFB=∠ECB，
又∵BD=CE，BC=CB，
∴△ECB≌△DBC（SAS），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
分析：此題分兩種情況證明，證明1：作中線AF，則三條中線交于重心G．有重心性質(zhì)可證BG=CG，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證GF⊥BC，再利用AF是中線，即可證明結(jié)論；
證明2：如圖，將EC沿ED平移得DF，連接ED、CF，則四邊形EDFC是平行四邊形，由BD=EC=DF．D、E分別AC、AB的中點(diǎn)，可證B、C、F三點(diǎn)共線，可得∠DBF=∠DFB=∠ECB，再利用（SAS）求證△ECB≌△DBC即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題有兩種情況，特別是證明2學(xué)生容易忽視，因此要向?qū)W生特別強(qiáng)調(diào)．