如圖，已知AB為⊙O的直徑，AC切⊙O于點A，過C作⊙O的切線CD，切⊙O于D．DE⊥AB于點E，連接BC交于點F．求證：DF=FE．
考點：切線的性質(zhì)
專題：證明題
分析：如圖，作輔助線；證明CA=CD（設(shè)為λ），BG=DG（設(shè)為μ），AC∥DE∥BG，得到△CDF∽△CGB；列出比例式求得DF=
λμ
λ+μ
；同理可求得EF=
λμ
λ+μ
，問題即可解決．
解答：解：如圖，過點B作⊙O的切線BG，交AD的延長線于點G；
∵AC、CD、BG分別為⊙O的切線，
∴CA=CD（設(shè)為λ），BG=DG（設(shè)為μ），
AC⊥AB，BG⊥AB；而DE⊥AB，
∴AC∥DE∥BG，
∴△CDF∽△CGB，
∴
DF
μ
=
λ
λ+μ
，DF=
λμ
λ+μ
；
∵△BEF∽△BAC，
∴
EF
λ
=
BE
BA
，而
BE
BA
=
DG
CG
=
μ
λ+μ
，
∴EF=
λμ
λ+μ
，
∴DF=EF．
點評：該題主要考查了切線的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運用切線的性質(zhì)定理等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

化簡：
（1）
a-b
a2-b2
+
b-a
b2-a2
；
（2）
x2
x-1
-x-1；
（3）
m+2n
n-m
+
n
m-n
-
2m
n-m
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，正方形ABCD的邊長為6，BM，DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足∠MAN=45°，連接MC，NC，MN．
（1）求證：BM•DN=36；
（2）求∠MCN的度數(shù)；
（3）猜想線段BM，DN和MN之間的等量關(guān)系并證明你的結(jié)論．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一支科考隊準備深入無人區(qū)的羅布泊進行科學(xué)考察，他們乘坐一輛越野吉普車，帶著足夠多的汽油桶確保住返所需要的油量，已知該車每行駛1千米需要耗油0.2升．如果該車一次性能裝運汽油120升，能否設(shè)計一種方案，使得考察隊盡可能地到達無人區(qū)的深處，又能順利沿原路返回？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，△ABD和△CBD都是等邊三角形，點E從A出發(fā)向D運動（但不與點A、D重合），同時點F以相同的速度從D出發(fā)向C運動（但不與點D、C重合）．
（1）試猜想BE、BF的大小關(guān)系，并說明理由；
（2）試說明點E從A向D運動的過程中四邊形BEDF面積的變化情況，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，點A（2，5）在反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象上，過點A的直線y=x+b交x軸于點B．
（1）求兩個函數(shù)的解析式；
（2）求△OAB的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點分別是D、E、F，若三角形三邊長分別記為BC=a，AC=b，AB=c，內(nèi)切圓半徑記為r，現(xiàn)有小堯和小淇對半徑進行計算．下面是兩位同學(xué)簡要的解答過程：
小堯同學(xué)解法：
分別連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC內(nèi)切圓，D、E、F為切點，∴CD=CE，AE=AF，BD=BF，∠OEC=∠ODC=90°，∵∠C=Rt∠，CD=CE，∴四邊形CDOE是正方形，∴CD=CE=r，AE=b-r=AF，BD=a-r=BF，∵BF+AF=AB=c，∴（a-r）+（b-r）=c；
小淇同學(xué)解法：
分別連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC內(nèi)切圓，D、E、F為切點，∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB于D、E、F，OD=OE=OF，∴S△ABC=S△BOC+S△AOC+S△AOB=
1
2
BC•DO+
1
2
AC•OE+
1
2
AB•FO=
1
2
（BC+AC+AB）•OD，∵∠C=90°，∴
1
2
ab=
1
2
（a+b+c）•r，∴r=
a+b-c
2
∴r=
ab
a+b+c

（1）知識理解：
對于兩位同學(xué)的解法，正確的判斷是
 

A．兩人都正確  B．兩人都錯誤  C．小堯正確，小淇錯誤  D．小堯錯誤，小淇正確
（2）方法延伸：
如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，⊙O與AB相切于點D，且AD=7，BD=3，求△ABC的面積．
（3）應(yīng)用拓展：
如圖3，△ABC中，A、B、C三點的坐標分別為A（0，8），B（-6，0），C（15，0）．若△ABC內(nèi)心為D，則點D的坐標為
 
．（直接寫出結(jié)果）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

最小的自然數(shù)是0
 
．（判斷對錯）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某工廠今年九月份的產(chǎn)值是a萬元，十月份比九月份增長10%，則十月份的產(chǎn)值為
 
萬元．

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同步練習(xí)冊答案