Question

【題目】已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接BE，AD，并延長AD交BE于點(diǎn)P．

（1）當(dāng)點(diǎn)D在圖1所在的位置時(shí)

①求證：△ADC≌△BEC；

②求∠APB的度數(shù)；

③求證：PD+PE＝PC；

（2）如圖2，當(dāng)△ABC邊長為4，AD＝2時(shí)，請直接寫出線段CE的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②∠APB＝60°；③見解析；（2）當(dāng)∠ADC＝90°時(shí)，CE取最大值為2．

【解析】

（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定證明即可；

②根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和解答即可；

③根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；

（2）當(dāng)∠ADC＝90°時(shí)，CE取最大值，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)解答即可．

（1）①∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，

∵將線段CD繞C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，

∴CE＝CD，∠DCE＝60°，

∴△DCE是等邊三角形，

∴∠DCE＝60°，

∵∠ACD+∠DCB＝60°，∠BCE+∠DCB＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

②∵△ACD≌△BCE，

∴∠EBC＝∠DAC，

∵∠DAC+∠BAD＝∠BAC＝60°，

∴∠PBC+∠BAD＝60°，

∴∠APB＝180°﹣∠ABC+∠PBC+∠BAP＝180°﹣60°﹣60°＝60°；

③∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE＝∠CAD，

∵∠CAD+∠BAD＝60°，∠BAD+∠DBC＝60°，

∴∠BAD+∠ABD＝∠BDP＝60°，

∵∠APB＝60°，

∴△BDP是等邊三角形，

∴DP＝BP，

∴PD+PE＝BE，

∵△ADC≌△BEC，

∴AD＝BE，

∵在△ABD與△CBP中

，

∴△ABD≌△CBP（SAS），

∴AD＝PC，

∴PD+PE＝PC；

（2）當(dāng)∠ADC＝90°時(shí)，CE取最大值，

∵AB＝AC＝4，AD＝2，

∴CD＝ ，

∴CE＝2，

即當(dāng)∠ADC＝90°時(shí)，CE取最大值為2．