Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折疊，使AB落在AC上，點B與AC上的點E重合，展開后，折痕AD交BO于點F，連接DE、EF．下列結論：①tan∠ADB=2；②圖中有4對全等三角形；③若將△DEF沿EF折疊，則點D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S_{四邊形DFOE}=S_△AOF，上述結論中正確的個數是（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：根據折疊的知識，銳角正切值的定義，全等三角形的判定，面積的計算判斷所給選項是否正確即可．
解答：解：①由折疊可得BD=DE，而DC＞DE，∴DC＞BD，∴tan∠ADB≠2，故①錯誤；
②圖中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED，（由折疊可知）
∵OB⊥AC，∴∠AOB=∠COB=90°，
在Rt△AOB和Rt△COB中，
，
∴Rt△AOB≌Rt△COB（HL），
則全等三角形共有4對，故②正確；
③∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折疊，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBD=∠DEF，
∴∠AEF=∠DEF=45°，∴將△DEF沿EF折疊，可得點D一定在AC上，故③錯誤；
④∵OB⊥AC，且AB=CB，
∴BO為∠ABC的平分線，即∠ABO=∠OBC=45°，
由折疊可知，AD是∠BAC的平分線，即∠BAF=22.5°，
又∵∠BFD為三角形ABF的外角，
∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°，
易得∠BDF=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BD=BF，故④正確；
⑤連接CF，∵△AOF和△COF等底同高，
∴S_△AOF=S_△COF，
∵∠AEF=∠ACD=45°，
∴EF∥CD，
∴S_△EFD=S_△EFC，
∴S_{四邊形DFOE}=S_△COF，
∴S_{四邊形DFOE}=S_△AOF，
故⑤正確；
正確的有3個，
故選C．
點評：綜合考查了有折疊得到的相關問題；注意由對稱也可得到一對三角形全等；用到的知識點為：三角形的中線把三角形分成面積相等的2部分；兩條平行線間的距離相等．