Question

如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（0，8），點 B（b，t）在直線x=b上運動，點D、E、F分別為OB、0A、AB的中點，其中b是大于零的常數(shù)．

（1）判斷四邊形DEFB的形狀．并證明你的結(jié)論；

（2）試求四邊形DEFB的面積S與b的關(guān)系式；

（3）設直線x=b與x軸交于點C，問：四邊形DEFB能不能是矩形？若能．求出t的值；若不能，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）四邊形DEFB是平行四邊形．

證明：∵D、E分別是OB、OA的中點，

∴DE∥AB，同理，EF∥OB，

∴四邊形DEFB是平行四邊形；

、

（2）解法一：∵S_△AOB= ×8×b=4b，

由（1）得EF∥OB，∴△AEF∽△AOB，

∴ =（ ）²，即S_△AEF= S_△AOB=b，同理S_△ODE=b，

∴S=S_△AOB-S_△AEF-S_△ODE=4b-b-b=2b，即S=2b（b＞0）；

解法二：如圖，連接BE，

S_△AOB= ×8×b=4b，

∵E、F分別為OA、AB的中點，

∴S_△AEF= S_△AEB= S_△AOB=b，

同理S_△EOD=b，

∴S=S_△AOB-S_△AEF-S_△ODE=4b-b-b=2b，

即S=2b（b＞0）；

（3）解法一：以E為圓心，OA長為直徑的圓記為⊙E，

①當直線x=b與⊙E相切或相交時，若點B是切點或交點，則∠ABO=90°，由（1）知，四邊形DEFB是矩形，

此時0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC，

∴ = ，即OB²=OA•BC=8t，

在Rt△OBC中，OB²=BC²+OC²=t²+b²，

∴t²+b²=8t，

∴t²-8t+b²=0，

解得t=4± ，

②當直線x=b與⊙E相離時，∠ABO≠90°，

∴四邊形DEFB不是矩形，

綜上所述：當0＜b≤4時，四邊形DEFB是矩形，這時，t=4± ，當b＞4時，四邊形DEFB不是矩形；

解法二：由（1）知，當∠ABO=90°時，四邊形DEFB是矩形，

此時，Rt△OCB∽Rt△ABO，

∴ = ，即OB²=OA•BC，

又OB²=BC²+OC²=t²+b²，OA=8，BC=t（t＞0），

∴t²+b²=8t，

∴（t-4）²=16-b²，

①當16-b²≥0時，解得t=4± ，此時四邊形DEFB是矩形，

②當16-b²＜0時，t無實數(shù)解，此時四邊形DEFB不是矩形，

綜上所述：當16-b²≥0時，四邊形DEFB是矩形，此時t=4± ，當16-b²＜0時，四邊形DEFB不是矩形；

解法三：如圖，過點A作AM⊥BC，垂足為M，

在Rt△AMB中，AB²=AM²+BM²=b²+（8-t）²，

在Rt△OCB中，OB²=OC²+BC²=b²+t²，

在Rt△OAB中，當AB²+OB²=OA²時，∠ABO=90°，則四邊形DEFB為矩形，

∴b²+（8-t）²+b²+t²=8²，

化簡得t²-8t=-b²，配方得（t-4）²=16-b²，其余同解法二．

【解析】略