Question

5．已知，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是對(duì)角線BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE=BD．將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜360°）得到△AB′E′，點(diǎn)B、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、E′．
（1）如圖1，當(dāng)α=30°時(shí)，求證：B′C=DE；
（2）連接B′E、DE′，當(dāng)B′E=DE′時(shí)，請(qǐng)用圖2求α的值；
（3）如圖3，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段B′E′上任意一點(diǎn)，試探究，在此旋轉(zhuǎn)過程中，線段PQ長(zhǎng)度的取值范圍為2$\sqrt{2}$-2≤PQ≤4$\sqrt{2}$+2．

Answer 1

分析 （1）先由正方形的性質(zhì)得到直角三角形AOE，再經(jīng)過簡(jiǎn)單計(jì)算求出角，判斷出△ADE≌△AB′C即可；
（2）先判斷出△AEB′≌△AE′D，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角和圖形，判斷出∠BAB′=∠DAB′即可；
（3）先判斷出點(diǎn)Q的位置，PQ最小時(shí)和最大時(shí)的位置，進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖1，

連接AC，B′C，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，AC⊥BD，AC=BD=2OA，∠CAB=ADB=45°，
∵AE=BD，
∴AC=AE=2OA，
在Rt△AOE中，∠AOE=90°，AE=2OA，
∴∠E=30°，
∴∠DAE=∠ADB-∠E=45°-30°=15°，
由旋轉(zhuǎn)有，AD=AB=AB′∠BAB′=30°，
∴∠DAE=15°，
在△ADE和△AB′C中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB′}\\{∠DAE=∠CAB′}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AB′C，
∴DE=B′C，
（2）如圖2，

由旋轉(zhuǎn)得，AB′=AB=AD，AE′=AE，
在△AEB′和△AE′D中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE′}\\{AD=AB′}\\{DB′=DE′}\end{array}\right.$，
∴△AEB′≌△AE′D，
∴∠DAE′=∠EAB′，
∴∠EAE′=∠DAB′，
由旋轉(zhuǎn)得，∠EAE′=∠BAB′，
∴∠BAB′=∠DAB′，
∵∠BAB′+∠DAB′=90°，
∴α=∠BAB′=45°，或α=360°-90°-45°=225°；

（3）如圖3，

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，
∴$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$，
在旋轉(zhuǎn)過程中，△ABE在旋轉(zhuǎn)到邊B'E'⊥AB于Q，此時(shí)PQ最小，PQ=AQ-AP=$\frac{1}{2}$BD-AP=2$\sqrt{2}$-2
在旋轉(zhuǎn)過程中，△ABE在旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線時(shí)，點(diǎn)Q和點(diǎn)E'重合，∴AE'=AE=4$\sqrt{2}$，
∴PE'=AE'+AP=4$\sqrt{2}$+2，
故答案為2$\sqrt{2}$-2≤PQ≤4$\sqrt{2}$+2．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是判斷出△AOE是直角三角形．