Question

【題目】在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作EF垂直于AC交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，將△AEF折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，當(dāng)△A′CD時(shí)等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】或．

【解析】首先證明四邊形AEA′F是菱形，分兩種情形：①CA′=CD，②A′C=A′D分別計(jì)算即可．

解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD=5，∠DAC=∠BAC，

∵EF⊥AA′，

∴∠EPA=∠FPA=90°，

∴∠EAP+∠AEP=90°，∠FAP+∠AFP=90°，

∴∠AEP=∠AFP，

∴AE=AF，

∵△A′EF是由△AEF翻折，

∴AE=EA′，AF=FA′，

∴AE=EA′=A′F=FA，

∴四邊形AEA′F是菱形，

∴AP=PA′

①當(dāng)CD=CA′時(shí)，∵AA′=AC﹣CA′=3，

∴AP=AA′=．

②當(dāng)A′C=A′D時(shí)，∵∠A′CD=∠A′DC=∠DAC，

∴△A′CD∽△DAC，

∴=，

∴A′C=，

∴AA=8﹣=，

∴AP=AA′=．

故答案為或．

“點(diǎn)睛”本題考查菱形的性質(zhì)、翻折變換、等腰三角形的判斷和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論，不能漏解. 屬于中考常考題型.