【題目】問題再現(xiàn):

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法,借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀起來并且具有可操作性,從而可以幫助我們快速解題.初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式,很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導(dǎo)和解釋.

例如:利用圖形的幾何意義證明完全平方公式.

證明:將一個邊長為a的正方形的邊長增加b,形成兩個矩形和兩個正方形,如圖1

這個圖形的面積可以表示成:

a+b2或 a2+2ab+b2

∴(a+b2 a2+2ab+b2

這就驗證了兩數(shù)和的完全平方公式.

類比解決:

1)請你類比上述方法,利用圖形的幾何意義證明平方差公式.(要求畫出圖形并寫出推理過程)

問題提出:如何利用圖形幾何意義的方法證明:13+2332?

如圖2A表示11×1的正方形,即:1×1×113

B表示12×2的正方形,CD恰好可以拼成12×2的正方形,因此:B、C、D就可以表示22×2的正方形,即:2×2×223AB、CD恰好可以拼成一個(1+2)×(1+2)的大正方形.

由此可得:13+23=(1+2232

嘗試解決:

2)請你類比上述推導(dǎo)過程,利用圖形的幾何意義確定:13+23+33   .(要求寫出結(jié)論并構(gòu)造圖形寫出推證過程).

3)問題拓廣:

請用上面的表示幾何圖形面積的方法探究:13+23+33++n3   .(直接寫出結(jié)論即可,不必寫出解題過程)

【答案】1)見解析;(262,推證過程見解析;(3[nn+1]2

【解析】

1)類比解決:如圖:邊長為a,b的兩個正方形,邊保持平行,從大正方形中剪去小正方形,剩下的圖形可以分割成2個長方形并拼成一個大長方形.根據(jù)第一個圖形的陰影部分的面積是a2b2,第二個圖形的陰影部分的面積是(a+b)(ab),可以驗證平方差公式;

2)嘗試解決:如圖,A表示一個1×1的正方形,B、C、D表示22×2的正方形,E、F、G表示33×3的正方形,而A、B、C、DE、F、G恰好可以拼成一個邊長為(1+2+3)的大正方形,根據(jù)大正方形面積的兩種表示方法,可以得出13+23+3362

3)問題拓廣:由上面表示幾何圖形的面積探究知,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n2,進一步化簡即可.

1)∵如圖,左圖的陰影部分的面積是a2b2,

右圖的陰影部分的面積是(a+b)(ab),

a2b2=(a+b)(ab),

這就驗證了平方差公式;

2)如圖,A表示11×1的正方形,即1×1×113

B表示12×2的正方形,CD恰好可以拼成12×2的正方形,

因此:BC、D就可以表示22×2的正方形,即:2×2×223;

GH,EFI可以表示33×3的正方形,即3×3×333;

而整個圖形恰好可以拼成一個(1+2+3×1+2+3)的大正方形,

由此可得:13+23+33=(1+2+3262;

故答案為:62;

3)由上面表示幾何圖形的面積探究可知,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n2

又∵1+2+3+…+nnn+1),

13+23+33+…+n3[nn+1]2

故答案為:[nn+1]2

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖1,ABC內(nèi)接于O,BAC的平分線交O于點D,交BC于點E(BEEC),且BD=2.過點D作DFBC,交AB的延長線于點F.

(1)求證:DF為O的切線;

(2)若BAC=60°,DE=,求圖中陰影部分的面積;

(3)若DF+BF=8,如圖2,求BF的長.

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2)求出以三點為頂點的三角形的面積;

3)在軸上是否存在點,使以三點為頂點的三角形的面積為10,若存在,請直接寫出點的坐標;若不存在,請說明理由.

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【題目】如圖 1,直線 MN 與直線 AB,CD 分別交于點 E,F,∠1 與∠2 互補.

(1)試判斷直線 AB 與直線 CD 的位置關(guān)系,并說明理由;

(2)如圖 2,∠BEF 與∠EFD 的角平分線交于點 P,EP CD 交于點 G,點 H MN 上一點,且GHEG,求證:PFGH;

(3)如圖 3,在(2)的條件下,連結(jié) PH,在 GH 上取一點 K,使得∠PKG=2HPK,過點 P PQ 平分∠EPK EF 于點 Q,問∠HPQ 的大小是否發(fā)生變化?若不變,請求出其值;若變化,說明理由.(溫馨提示:三角形的三個內(nèi)角和為 180°)

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(1)直接用含t的代數(shù)式分別表示:QB=   ,PD=   

(2)是否存在t的值,使四邊形PDBQ為菱形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.并探究如何改變Q的速度(勻速運動),使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形,求點Q的速度;

(3)如圖2,在整個運動過程中,求出線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長.

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【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=6,DAB=60°AE分別交BC、BD于點E、FCE=2,連接CF,以下結(jié)論:①△ABF≌△CBF;②點EAB的距離是2;tanDCF= ④△ABF的面積為.其中一定成立的有幾個( 。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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【題目】已知:△ABC是三邊都不相等的三角形,點O和點P是這個三角形內(nèi)部兩點.
1)如圖①,如果點P是這個三角形三個內(nèi)角平分線的交點,那么∠BPC和∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由;
2)如圖②,如果點O是這個三角形三邊垂直平分線的交點,那么∠BOC和∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由;
3)如圖③,如果點P(三角形三個內(nèi)角平分線的交點),點O(三角形三邊垂直平分線的交點)同時在不等邊△ABC的內(nèi)部,那么∠BPC和∠BOC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接回答.

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【題目】解下列方程或方程組:

2( x 2) 3(4 x 1) 9(1 x)

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