Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O的切線，弦CD⊥AB于E，CF∥AD，CD=4

3

，BE=2．
（1）求AD的長．
（2）求證：FC是⊙O的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OC，設(shè)⊙O的半徑為R，根據(jù)垂徑定理由CD⊥AB得CE=

1

2

CD=2

3

，在Rt△OCE中，根據(jù)勾股定理得（R-2）²+（2

3

）²=R²，解得R=4，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理可計(jì)算出AD=4

3

；
（2）連結(jié)AC，根據(jù)切線的性質(zhì)由AB是⊙O的直徑，AF是⊙O的切線得AF⊥AB，而AB⊥CD，則AF∥CD，加上FC∥AD，可判斷四邊形ADCF為平行四邊形，由于AD=4

3

=CD，所以四邊形ADCF為菱形，則FA=FC，所以∠1=∠2，而∠4=∠3，易得∠FAO=∠FCO=90°，于是根據(jù)切線的判定定理得到FC是⊙O的切線．

解答：（1）解：連結(jié)OC，如圖，設(shè)⊙O的半徑為R，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE=

1

2

CD=

1

2

×4

3

=2

3

，
在Rt△OCE中，OC=R，OE=OB-BE=R-2，
∵OE²+CE²=OC²，
∴（R-2）²+（2

3

）²=R²，解得R=4，
在Rt△ADE中，AE=OA+OE=6，DE=2

3

，
∴AD=

AE2+DE2

=4

3

；
（2）證明：連結(jié)AC，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，AF是⊙O的切線，
∴AF⊥AB，
∵AB⊥CD，
∴AF∥CD，
而FC∥AD，
∴四邊形ADCF為平行四邊形，
∵AD=4

3

=CD，
∴四邊形ADCF為菱形，
∴FA=FC，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠4=∠3，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠FAO=∠FCO，
∴∠FAO=∠FCO=90°，
∴OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切線．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了切線的性質(zhì)定理、垂徑定理和菱形的判定與性質(zhì)．