Question

【題目】拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D（xD，yD）為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中1＜xD＜3．連接AC，BC，DB，DC．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當(dāng)△BCD的面積等于△AOC的面積的2倍時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）點(diǎn)D坐標(biāo)（2，3）；（3）M坐標(biāo)（1，0）或（，0）或（﹣，0）或（5，0）

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)解析式先求出△AOC的面積，設(shè)點(diǎn)D（xD，yD），由直線BC的解析式表示點(diǎn)E的坐標(biāo)，求出DE的長(zhǎng)，再由△BCD的面積等于△AOC的面積的2倍，列出關(guān)于xD 的方程得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)M（m，0），點(diǎn)N（x，y），分兩種情況討論：當(dāng)BD為邊時(shí)或BD為對(duì)角線時(shí)，列中點(diǎn)關(guān)系式解答.

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），

∴，

解得：

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸，與直線BC交于點(diǎn)E，

∵拋物線y＝﹣x2+2x+3，與y軸交于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C（0，3），

∴OC＝3，

∴S△AOC＝×1×3＝，

∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3）

∴直線BC解析式為y＝﹣x+3，

∵點(diǎn)D（xD，yD），

∴點(diǎn)E（xD，﹣xD+3），yD＝﹣xD2+2xD+3，

∴DE＝﹣xD2+2xD+3﹣（﹣xD+3）＝﹣xD2+3xD，

∴S△BCD＝3＝×DE×3，

∵△BCD的面積等于△AOC的面積的2倍

∴2＝﹣xD2+3xD，

∴xD＝1（舍去），xD＝2，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)（2，3）；

（3）設(shè)點(diǎn)M（m，0），點(diǎn)N（x，y）

當(dāng)BD為邊，四邊形BDNM是平行四邊形，

∴BN與DM互相平分，

∴，

∴y＝3，

∴3＝﹣x2+2x+3

∴x＝2（不合題意），x＝0

∴點(diǎn)N（0，3）

∴，

∴m＝1，

當(dāng)BD為邊，四邊形BDMN是平行四邊形，

∴BM與DN互相平分，

∴，

∴y＝﹣3，

∴﹣3＝﹣x2+2x+3

∴x＝1±，

∴，

∴m＝±，

當(dāng)BD為對(duì)角線，

∴BD中點(diǎn)坐標(biāo)（，），

∴， ，

∴y＝3，

∴3＝﹣x2+2x+3

∴x＝2（不合題意），x＝0

∴點(diǎn)N（0，3）

∴m＝5，

綜上所述點(diǎn)M坐標(biāo)（1，0）或（，0）或（﹣，0）或（5，0）．