Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+x-4交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，頂點為H，其對稱軸交x軸于點N．直線l經(jīng)過B、D兩點，交拋物線的對稱軸于點M，其中點D的橫坐標(biāo)為-5．
（1）連接AM，求△ABM的周長；
（2）若P是拋物線位于直線BD的下方且在其對稱軸左側(cè)上的一點，當(dāng)四邊形DPHM的面積最大時，求點P的坐標(biāo)；
（3）連接AC，若F為y軸上一點，當(dāng)∠MBN=∠FAC時，求F點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求出D點、A點、B點坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出直線DB的解析式，再利用勾股定理得出BM的長，即可得出△ABM的周長；
（2）首先表示出P，Q點的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出S_{四邊形DPHM}=S_△DPM+S_△PMH，利用二次函數(shù)最值求出即可；
（3）分別利用當(dāng)F在C的上方時，得出△MBN∽△F₁AG₁，進(jìn)而得出F點坐標(biāo)，當(dāng)F在C的下方時，得出△AOF₂∽△G₂CF₂，進(jìn)而得出F點坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)x=-5，y=

7

2

，則D（-5，

7

2

）
令y=0，則

1

2

x²+x-4=0，
解得：x₁=-4，x₂=2，
則A（-4，0），B（2，0），
則AB=6，
設(shè)直線DB的解析式為y=kx+b，
則

-5k+b= 7 2 2k+b=0

，
解得：

k=- 1 2 b=1

，
則直線DB的解析式為y=-

1

2

x+1，
拋物線對稱軸為x=-1，則M（-1，

3

2

）
在Rt△MNB中，MB2=MN2+NB2=

45

4

，
∴MB=

3 5

2

，
MN垂直平分AB，則AM=BM=

3 5

2

，
則C_△ABM=AM+BM+AB=3

5

+6，
所以△ABM的周長為；3

5

+6；

（2）如圖1，連接PM，過P作PQ垂直于x軸交l于Q
拋物線的頂點坐標(biāo)H為（-1，-

9

2

）

令P（m，

1

2

m²+m-4），則Q（m，-

1

2

m+1），
則PQ=-

1

2

m+1-

1

2

m²-m+4=-

1

2

m²-

3

2

m+5，
S_△DPM=S_△DQP+S_△MQP=

1

2

QP×4=2QP=-m²-3m+10，
S_△PMH=

1

2

×（

3

2

+

9

2

）×（-1-m）=-3-3m，
故S_{四邊形DPHM}=S_△DPM+S_△PMH=-m²-3m+10-3-3m=-m²-6m+7（-5＜m＜-1）
∵-5＜-3＜-1，
∴拋物線開口向下，
故當(dāng)m=-

b

2a

=-3時，S_{四邊形DPHM}最大，則

1

2

m²+m-4=

1

2

×（-3）²+（-3）-4=-

5

2

，
則P（-3，-

5

2

）；

（3）如圖2，當(dāng)F在C的上方時，過F₁作F₁G₁⊥AC于G₁
在△MNB中，MN=

3

2

，BN=3，∴

MN

NB

=

1

2

由題意可得，∠ACO=45°，
∵∠MBN=∠F₁AC，∠MNB=∠F₁G₁A，
∴△MBN∽△F₁AG₁
∴

F1G1

AG1

=

MN

NB

=

1

2

，
令F₁G₁=a，則AG₁=2a，則CG₁=a，F(xiàn)₁C=

2

a，
∵AC=3a=4

2

，則a=

4 2

3

，則F₁C=

8

3

，
∴OF₁=

4

3

，∴F₁（0，-

4

3

），
當(dāng)F在C的下方時，過C作CG₂⊥y軸交AF₂于G₂，
在△F₁AC和△G₂AC中
∵

∠ACF1=∠ACG2 AC=AC ∠F1AC=∠CAG2

∴△F₁AC≌△G₂AC（ASA），
∴CG2=CF1=

8

3

，
∵CG₂∥AO，
∴△AOF₂∽△G₂CF₂，
∴

AO

OF2

=

G2C

CF2

，
∴

4

4+CF2

=

8 3

CF2

，
解得：CF₂=8，
故F₂（0，-12）
綜上，當(dāng)∠MBN=∠FAC時，F(xiàn)₁（0，-

4

3

），F(xiàn)₂（0，-12）．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)綜合等知識，利用F點位置的不同分類討論得出是解題關(guān)鍵．