Question

如圖，⊙O的半徑為4，AB是弦，且∠OAB=45°，點P是

APB

上任一點（與端點A、B不重合），PD⊥AB于點D，以點D為圓心、DP長為半徑作⊙P，分別過點A、B作⊙P的切線，兩條切線相交于點C．
（1）求AB的長；
（2）判斷∠ACB是否為定值？若是，求出∠ACB的大�。环駝t，請說明理由；
（3）記△ABC的面積為S，當S取得最大值時，求此時PD的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連接OB，如圖1，先證明△OAB為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)易得AB=4

2

；
（2）連接PA、PB，作圓周角∠AEB，根據(jù)圓周角定理得∠AEB=

1

2

∠AOB=45°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠APB=180°-∠AEB=135°，然后根據(jù)⊙P為△ABC的內(nèi)切圓，利用內(nèi)心的性質(zhì)得∠PAB=

1

2

∠CAB，∠PBA=

1

2

∠CBA，利用三角形的內(nèi)角和定理得∠PAB+∠PBA=45°，則∠CAB+∠CBA=90°，所以∠ACB=180°-（∠CAB+∠CBA）=90°；
（3）由于AB不變，所以當C點到AB的距離最大時，S最大，此時點P為弧AB的中點，由于PD⊥AB，根據(jù)垂徑定理的推理得PD經(jīng)過點O，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OD=

1

2

AB=2

2

，所以PD=OP-OD=4-2

2

．

解答：解：（1）連接OB，如圖，
∵OA=OB，∠OAB=45°，
∴∠OBA=45°，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴AB=

2

OA=4

2

；
（2）∠ACB為定值．
連接PA、PB，作圓周角∠AEB，
∵△OAB為等腰直角三角形，
∴∠AOB=90°，
∴∠AEB=

1

2

∠AOB=45°，
∴∠APB=180°-∠AEB=135°，
∵以點D為圓心、DP長為半徑作⊙P，分別過點A、B作⊙P的切線，即⊙P為△ABC的內(nèi)切圓，
∴PA、PB分別平分∠CAB和∠CBA，
∴∠PAB=

1

2

∠CAB，∠PBA=

1

2

∠CBA，
∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=180°-135°=45°，
∴

1

2

∠CAB+

1

2

∠CBA=45°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠CBA）=90°；
（3）當C點到AB的距離最大時，S最大，此時點P為弧AB的中點，
∵PD⊥AB，
∴PD經(jīng)過點O，
∴OD=

1

2

AB=2

2

，
∴PD=OP-OD=4-2

2

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握三角形內(nèi)心的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；會利用等腰直角三角形的性質(zhì)進行計算．