Question

6．直角三角形ABC，∠C=90°，四邊形CDEF是正方形，其中點D、E、F分別在邊AC、AB、BC上，如果AE=a，EB=b，則三角形ADE與三角形EFB的面積之和是$\frac{ab}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)正方形CDEF的邊長為x，則EF=ED=x，則利用勾股定理表示出BF=$\sqrt{^{2}-{x}^{2}}$，再證明Rt△BEF∽Rt△EAD，利用相似比求出x的值，則開始計算出S_△BEF，然后利用相似三角形的性質(zhì)計算出S_△AED，從而得到△ADE與△BEF的面積和．

解答 解：設(shè)正方形CDEF的邊長為x，則EF=ED=x，
所以BF=$\sqrt{^{2}-{x}^{2}}$，
∵EF∥AC，
∴∠BEF=∠A，
∴Rt△BEF∽Rt△EAD，
∴BF：DE=BE：AE，即$\sqrt{^{2}-{x}^{2}}$：x=b：a，
解得：x=$\frac{ab\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∴BF=$\frac{^{2}\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$BF•EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{^{2}\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{{a}^{2}+^{2}}$×$\frac{ab\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{a^{3}}{2（{a}^{2}+^{2}）}$，
∵$\frac{△BEF的面積}{△AED的面積}$=（$\frac{a}$）²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∴S_△AED=$\frac{{a}^{3}b}{2（{a}^{2}+^{2}）}$，
∴△ADE與△BEF的面積和=$\frac{ab}{2}$．
故答案為：$\frac{ab}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：．在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．也考查了正方形的性質(zhì)．