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已知：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條非直徑的弦，且AB∥CD，連接AD和BC，
（1）AD和BC相等嗎？為什么？
（2）如果AB=2AD=4，且A、B、C、D四點在同一拋物線上，請在圖中建立適當的直角坐標系，求出該拋物線的解析式．
（3）在（2）中所求拋物線上是否存在點P，使得S△PAB=
1
2
S四邊形ABCD？若存在，求出P的坐標；若不存在，說明理由．
（1）AD=BC．
理由如下：∵AB∥CD，
∴
AD
=
BC
，
∴AD=BC；

（2）如圖，建立平面直角坐標系，∵AB=2AD=4，
∴AO=BO=2，
∴點A、B的坐標分別為A（-2，0），B（2，0），
連接OD，過點D作DE⊥AO于點E，
則OD=AO=2，
∴△AOD是等邊三角形，
OE=
1
2
AO=
1
2
×2=1，
DE=
OD2-OE2
=
22-12
=
3
，
∴點D的坐標為（-1，
3
），
設過A、B、C、D四點的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，
則
4a-2b+c=0
4a+2b+c=0
a-b+c=
3
，
解得
a=-
3
3
b=0
c=
4
3
3
，
所以，該拋物線的解析式為y=-
3
3
x2+
4
3
3
；

（3）存在．理由如下：
由對稱性可得CD=2OE=2×1=2，
∴S四邊形ABCD=
1
2
×（2+4）×
3
=3
3
，
設點P到AB的距離為h，∵S△PAB=
1
2
S四邊形ABCD，
∴
1
2
×4•h=
1
2
×3
3
，
解得h=
3
3
4
，
①當點P在x軸上方時，點P的縱坐標為
3
3
4
，
所以，-
3
3
x2+
4
3
3
=
3
3
4
，
解得x=±
7
2
，
此時，點P的坐標為（-
7
2
，
3
3
4
）或（
7
2
，
3
3
4
），
②當點P在x軸下方時，點P的縱坐標為-
3
3
4
，
所以，-
3
3
x2+
4
3
3
=-
3
3
4
，
解得x=±
5
2
，
此時，點P的坐標為（-
5
2
，-
3
3
4
）或（
5
2
，-
3
3
4
），
綜上所述，拋物線上存在點P（-
7
2
，
3
3
4
）或（
7
2
，
3
3
4
）或（-
5
2
，-
3
3
4
）或（
5
2
，-
3
3
4
），使得S△PAB=
1
2
S四邊形ABCD．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點M是拋物線上一點，以B，C，D，M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，點A、C的坐標分別為（-1，0）、（0，-
3
），點B在x軸上．已知某二次函數的圖象經過A、B、C三點，且它的對稱軸為直線x=1．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）點D為直線BC下方的二次函數圖象上的一個動點（點D與B、C不重合），過點D作y軸的平行線交BC于點E，設點D的橫坐標為m，DE=n，n與m的函數關系式；
（3）點M在y軸上，點N在拋物線上．是否存在以M、N、A、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：填空題

用“?”定義一種新運算：對于任意實數m，n和拋物線y=-ax2，當y=ax2?（m，n）后都可以得到y(tǒng)=a（x-m）2+n．例如：當y=2x2?（3，4）后都可以得到y(tǒng)=2（x-3）2+4．若函數y=x2?（1，n）得到的函數如圖所示，則n=______．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點A（0，3），與x軸交于（1，0）（5，0）兩點，若一個動點P自OA的中點M出發(fā)，先到達x軸上的某點E，再到達拋物線的對稱軸上某點F，最后運動到點A，則使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標分別是：E______，F______．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知：一次函數y=-
1
2
x+2的圖象與x軸、y軸的交點分別為B、C，二次函數的關系式為y=ax2-3ax-4a（a＜0）．
（1）說明：二次函數的圖象過B點，并求出二次函數的圖象與x軸的另一個交點A的坐標；
（2）若二次函數圖象的頂點，在一次函數圖象的下方，求a的取值范圍；
（3）若二次函數的圖象過點C，則在此二次函數的圖象上是否存在點D，使得△ABD是直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的點D坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線y=ax2+bx+2經過點A（-1，0），B（5，0），與y軸交于點C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點P為線段AB上一點，連接PC．將線段PC繞點P順時針旋轉90°得到線段PF，連接BF．設點P的坐標為（t，0），△PBF的面積為S，求S與t的函數關系式，并求出當△PBF的面積最大時，點P的坐標及此時△PBF的最大面積；
（3）在（2）的條件下，點P在線段OB上移動的過程中，△PBF能否成為等腰三角形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線y=
3
4
x2+bx+c與坐標軸交于A、B、C三點，A點的坐標為（-1，0），過點C的直線y=
3
4t
x-3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，過P作PH⊥OB于點H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）填空：點C的坐標是______，b=______，c=______；
（2）求線段QH的長（用含t的式子表示）；
（3）依點P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：單選題

如圖所示，橋拱是拋物線形，其函數的表達式為y=-
1
4
x2，當水位線在AB位置時，水面寬12m，這時水面離橋頂的高度為（　�。�
A．3mB．2
6
m		C．4
3
m		D．9m

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