精英家教網(wǎng)已知一元二次方程-x2+bx+c=0的兩個實數(shù)根是m,4,其中0<m<4.
(1)求b、c的值(用含m的代數(shù)式表示);
(2)設(shè)拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C.若點D的坐標為(0,-2),且AD•BD=10,求拋物線的解析式及點C的坐標;
(3)在(2)中所得的拋物線上是否存在一點P,使得PC=PD?若存在,求出P點的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)已知了方程的兩根,用韋達定理即可求出b、c的值.
(2)已知了D點的坐標即可求出OD的長,也就能求出AD、BD的長,然后根據(jù)AD•BD=10可得出m的值.進而可求出拋物線的解析式.根據(jù)拋物線的解析式即可得出其與y軸的交點.
(3)如果PC=DP,那么P點必在線段CD的垂直平分線上,設(shè)這條垂直平分線為l,那么P點必為直線l與拋物線的交點,由此可求出P點的坐標.
解答:解:(1)一元二次方程-x2+bx+c=0的兩個實數(shù)根是m,4;
∴m+4=b,4m=-c,
∴b=m+4,c=-4m.

(2)由(1)知拋物線y=-x2+(m+4)x-4m與x軸兩個交點的坐標為(m,0)(4,0);
∵AD•BD=10,
m2+22
42+22
=10
∵0<m<4,
∴m=1
∴y=-x2+5x-4.
令x=0,
∴y=-4
∴C(0,-4).
∴拋物線的解析式為y=-x2+5x-4,點C的坐標(0,-4).

(3)要使得PC=PD,P點必在CD的垂直平分線l上;
∴直線l是y=-3
y=-3
y=-x2+5x-4

解得
x=
21
2
y=-3
,
∴拋物線上存在P點,使得PC=PD,且P點坐標為(
5-
21
2
,-3)或(
5+
21
2
,-3).
點評:本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點等知識.
練習冊系列答案
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已知一元二次方程x2+mx+7=0有一根為7,求這個方程的另一個根和m的值.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知一元二次方程x2-6x-5=0的兩根為a、b,則
1
a
+
1
b
的值是
 

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

(2013•武漢模擬)先閱讀并完成第(1)題,再利用其結(jié)論解決第(2)題.
(1)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實根為x1,x2,則有x1+x2=-
b
a
,x1•x2=
c
a
.這個結(jié)論是法國數(shù)學家韋達最先發(fā)現(xiàn)并證明的,故把它稱為“韋達定理”.利用此定理,可以不解方程就得出x1+x2和 x1•x2的值,進而求出相關(guān)的代數(shù)式的值.
請你證明這個定理.
(2)對于一切不小于2的自然數(shù)n,關(guān)于x的一元二次方程x2-(n+2)x-2n2=0的兩個根記作an,bn(n≥2),
請求出
1
(a2-2)(b2-2)
+
1
(a3-2)(b3-2)
+…+
1
(a2011-2)(b2011-2)
的值.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•高州市一模)已知一元二次方程(m-1)x2-4mx+4m-2=0有實數(shù)根,則m的取值范圍是( 。

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