Question

已知二次函數(shù)的圖象在x軸上截得的線段AB長為4，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（3，-2）．
 （1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；
 （2）一個新的二次函數(shù)的圖象與（1）中拋物線關(guān)于y軸對稱，求新的二次函數(shù)表達(dá)式；
 （3）二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與（1）中拋物線關(guān)于原點(diǎn)對稱，求a，b，c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：幾何變換

分析：（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可得拋物線的對稱軸為直線x=3，利用拋物線的對稱性可得A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，0），（5，0），則可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-1）（x-5），然后把P點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a=

1

2

，從而得到拋物線解析式；
（2）利用關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出點(diǎn)P（3，-2）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式確定新的二次函數(shù)表達(dá)式；
（3）利用關(guān)于原點(diǎn)對稱的坐標(biāo)特征，求出點(diǎn)P（3，-2）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式寫出新拋物線解析式，再化為一般式，則可得到a、b、c的值．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（3，-2），
∴拋物線的對稱軸為直線x=3，
∵二次函數(shù)的圖象在x軸上截得的線段AB長為4，
∴A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，0），（5，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）（x-5），
把P（3，-2）代入得a•2•（-2）=-2，解得a=

1

2

，
∴拋物線解析式為y=

1

2

（x-1）（x-5）=

1

2

x²-3x+

5

2

；
（2）∵點(diǎn)P（3，-2）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，-2），
∴拋物線解析式y(tǒng)=

1

2

x²-3x+

5

2

關(guān)于y軸對稱的拋物線解析式為y=

1

2

（x+3）²-2=

1

2

x²+3x+

5

2

；
（3）∵點(diǎn)P（3，-2）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，2），
∴拋物線解析式y(tǒng)=

1

2

x²-3x+

5

2

關(guān)于原點(diǎn)對稱的拋物線解析式為y=-

1

2

（x+3）²+2=-

1

2

x²-3x-

5

2

，
∴a=-

1

2

，b=-3，c=-

5

2

．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．也考查了待定系數(shù)求拋物線解析式．