Question

（1）如圖①，P為△ABC的邊AB上一點（P不與點A、點B重合），連接PC，如果△CBP∽△ABC，那么就稱P為△ABC的邊AB上的相似點．

         畫法初探

①如圖②，在△ABC中，∠ACB＞90°，畫出△ABC的邊AB上的相似點P（畫圖工具不限，保留畫圖痕跡或有必要的說明）；

 

辯證思考

②是不是所有的三角形都存在它的邊上的相似點？如果是，請說明理由；如果不是，請找出一個不存在邊上相似點的三角形；

特例分析

③已知P為△ABC的邊AB上的相似點，連接PC，若△ACP∽△ABC，則△ABC的形狀是  ▲  ；

④如圖③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，P是邊AB上的相似點，求的值．

（2）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b（a≥b）．P是AB上的點（P不與點A、點B重合），作PQ⊥CD，垂足為Q．如果矩形ADQP∽矩形ABCD，那么就稱PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線．

     ①類比（1）中的“畫法初探”，可以提出問題：對于如圖④的矩形ABCD，在不限制畫圖工具的前提下，如何畫出它的邊AB、CD上的相似線PQ呢？

       你的解答是：  ▲  （只需描述PQ的畫法，不需在圖上畫出PQ）．

        ②請繼續(xù)類比（1）中的“辯證思考”、“特例分析”兩個欄目對矩形的相似線進行研究，要求每個欄目提出一個問題并解決．

Answer 1

解：（1）①畫圖正確．

②不是，如正三角形．

③直角三角形．

④∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠B＝∠ACB＝72°．

∵P是△ABC邊AB上的相似點．

∴△CBP∽△ABC．

∴∠BCP＝∠A＝36°，且BPBC＝BCAB．

∴∠ACP＝36°＝∠A，∠B＝∠BPC．

∴AP＝CP＝BC．

  設BP＝x，AP＝CP＝BC＝y(tǒng)，有xy＝y(tǒng)y＋x ．

   化簡，得x2＋xy－y2＝0．

   舍去負根，得xy＝5－12，即BPAP＝5－12．  7分

        （2）①在距離A點b2a處取點P，作PQ⊥CD，垂足為Q．

②辯證思考

問題：是不是所有的矩形都存在它的邊上的相似線？如果是，請說明理由；如果不是，請找出一個不存在邊上相似線的矩形．

  解答：不是，如正方形．

特例分析

答案不唯一，以下答案供參考：

i）問題：已知PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線，且矩形PQCB∽矩形ABCD，a、b之間有何數(shù)量關系？

   解答：a＝2b．    12分

ii）問題：已知PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線，且P 是AB的中點，a、b之間有何數(shù)量關系？

   解答：a＝2b．    12分

iii）問題：已知PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線，當a＝2，b＝1時，求AP．

解答：AP＝12．  12分

iv）問題：已知矩形ABCD為黃金矩形（即ba＝5－12），PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線，求APAD．

解答：APAD＝5－12． 12分